Какво е аритметика? Кога човечеството започна да използва числата и да работи с тях? Къде отиват корените на такива ежедневни понятия като числа, дроби, изваждане, събиране и умножение, които човек е превърнал в неразделна част от своя живот и мироглед? Древногръцките умове са се възхищавали на науки като математика, аритметика и геометрия като най-красивите симфонии на човешката логика.
Може би аритметиката не е толкова дълбока, колкото другите науки, но какво ще се случи с тях, ако човек забрави елементарната таблица за умножение? Привичното за нас логическо мислене, използващо числа, дроби и други инструменти, не беше лесно за хората и дълго време беше недостъпно за нашите предци. Всъщност, преди развитието на аритметиката, никоя област на човешкото познание не е била наистина научна.
Аритметиката е азбуката на математиката
Аритметиката е науката за числата, с която всеки човек започва да се запознава с увлекателния свят на математиката. Както каза М. В. Ломоносов, аритметиката е портата на ученето, отваряща ни пътя към световното познание. Но той е правМоже ли знанието за света да се отдели от знанието за числа и букви, математика и реч? Може би в старите времена, но не и в съвременния свят, където бързото развитие на науката и технологиите диктува свои собствени закони.
Думата "аритметика" (на гръцки "аритмос") от гръцки произход означава "число". Тя изучава числата и всичко, което може да бъде свързано с тях. Това е светът на числата: различни операции с числа, числови правила, решаване на задачи, свързани с умножение, изваждане и т.н.
Общоприето е, че аритметиката е началната стъпка на математиката и солидна основа за нейните по-сложни раздели, като алгебра, математически анализ, висша математика и др.
Основен обект на аритметиката
В основата на аритметиката е цяло число, чиито свойства и модели се разглеждат във висшата аритметика или теорията на числата. Всъщност силата на цялата сграда - математиката - зависи от това колко правилен е подходът при разглеждането на такъв малък блок като естествено число.
Следователно на въпроса какво е аритметика може да се отговори просто: това е наука за числата. Да, за обичайните седем, девет и цялата тази разнообразна общност. И както не можете да напишете добра или дори най-посредствена поезия без елементарна азбука, не можете да решите дори елементарен проблем без аритметика. Ето защо всички науки напредват едва след развитието на аритметиката и математиката, преди това са били само набор от предположения.
Аритметиката е фантомна наука
Какво е аритметика - естествена наука или фантом? Всъщност, както твърдят древногръцките философи, в действителност не съществуват нито числа, нито цифри. Това е просто фантом, който се създава в човешкото мислене при разглеждане на околната среда с нейните процеси. Наистина, какво е число? Никъде наоколо не виждаме нещо подобно, което би могло да се нарече число, по-скоро числото е начин на човешкия ум да изучава света. Или може би това е изучаването на самите нас отвътре? Философите спорят за това в продължение на много векове подред, така че ние не се ангажираме да дадем изчерпателен отговор. По един или друг начин аритметиката успя да заеме своето място толкова здраво, че в съвременния свят никой не може да се счита за социално адаптиран, без да познава нейните основи.
Как се появи естественото число
Разбира се, основният обект, върху който оперира аритметиката, е естествено число, като 1, 2, 3, 4, …, 152… и т.н. Аритметиката на естествените числа е резултат от преброяването на обикновени предмети, като кравите на поляна. И все пак определението за „много“или „малко“веднъж престана да отговаря на хората и те трябваше да измислят по-усъвършенствани техники за броене.
Но истинският пробив се случи, когато човешката мисъл достигна до точката, че е възможно да се обозначат 2 килограма, 2 тухли и 2 части със същото число "две". Факт е, че трябва да се абстрахирате от формите, свойствата и значението на обектите, след което можете да извършвате някои действия с тези обекти под формата на естествени числа. Така се ражда аритметиката на числата, коятодоразвиват и разширяват, заемайки все по-големи позиции в живота на обществото.
Такива задълбочени концепции за числото като нула и отрицателно число, дроби, обозначения на числа чрез числа и по други начини, имат богата и интересна история на развитие.
Аритметични и практични египтяни
Двамата най-стари човешки спътници в изследването на света около нас и решаването на ежедневни проблеми са аритметиката и геометрията.
Смята се, че историята на аритметиката води началото си от Древния изток: в Индия, Египет, Вавилон и Китай. Така папирусът Ринда от египетски произход (наречен така, защото е принадлежал на собственика със същото име), датиращ от 20-ти век. BC, в допълнение към други ценни данни, съдържа разширяването на една дроб в сбора от дроби с различни знаменатели и числител, равен на едно.
Например: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Но какъв е смисълът от такова сложно разлагане? Факт е, че египетският подход не толерира абстрактни мисли за числата, напротив, изчисленията се правят само за практически цели. Тоест египтянинът ще се занимава с такова нещо като изчисления, само за да построи гробница, например. Беше необходимо да се изчисли дължината на ръба на конструкцията и това принуди човек да седне зад папируса. Както можете да видите, египетският напредък в изчисленията е причинен по-скоро от масовото строителство, отколкото от любовта към науката.
По тази причина изчисленията, намерени на папирусите, не могат да се нарекат разсъждения по темата за дробите. Най-вероятно това е практическа подготовка, която помогна в бъдеще.решаване на задачи с дроби. Древните египтяни, които не са знаели таблиците за умножение, са правили доста дълги изчисления, разложени на много подзадачи. Може би това е една от тези подзадачи. Лесно е да се види, че изчисленията с такива детайли са много трудоемки и безперспективни. Може би поради тази причина не виждаме големия принос на Древен Египет за развитието на математиката.
Древна Гърция и философска аритметика
Много познания за Древния Изток са усвоени успешно от древните гърци, известни любители на абстрактните, абстрактните и философските размисли. Те се интересуваха не по-малко от практиката, но е трудно да се намерят най-добрите теоретици и мислители. Това е от полза за науката, тъй като е невъзможно да се задълбочи в аритметиката, без да се откъсне от реалността. Разбира се, можете да умножите 10 крави и 100 литра мляко, но няма да стигнете много далеч.
Дълбокомислещите гърци оставиха значителна следа в историята и техните писания са достигнали до нас:
- Евклид и елементите.
- Pythagoras.
- Архимед.
- Ератостен.
- Zeno.
- Анаксагор.
И, разбира се, гърците, които превърнаха всичко във философия, и особено наследниците на делото на Питагор, бяха толкова очаровани от числата, че ги смятаха за мистерията на хармонията на света. Числата са проучени и изследвани до такава степен, че на някои от тях и техните двойки са приписани специални свойства. Например:
- Перфектни числа са тези, които са равни на сбора от всичките им делители, с изключение на самото число (6=1+2+3).
- Приятелските числа са тези числа, едно от коитое равно на сбора от всички делители на втория и обратно (питагорейците са знаели само една такава двойка: 220 и 284).
Гърците, които вярвали, че науката трябва да бъде обичана, а не да бъде с нея заради печалбата, постигнаха голям успех чрез изследване, игра и добавяне на числа. Трябва да се отбележи, че не всички техни изследвания бяха широко използвани, някои от тях останаха само "за красота".
Източни мислители от Средновековието
По същия начин, през Средновековието, аритметиката дължи своето развитие на източните съвременници. Индианците ни дадоха числата, които активно използваме, като понятие като "нула" и позиционната версия на смятането, позната на съвременното възприятие. От Ал-Каши, който е работил в Самарканд през 15-ти век, наследихме десетичните дроби, без които е трудно да си представим съвременната аритметика.
В много отношения запознаването на Европа с постиженията на Изтока стана възможно благодарение на работата на италианския учен Леонардо Фибоначи, който написа работата "Книгата на Abacus", въвеждайки източните иновации. Той се превърна в крайъгълен камък на развитието на алгебрата и аритметиката, изследователската и научната дейност в Европа.
руска аритметика
И накрая, аритметиката, която намери своето място и се вкорени в Европа, започна да се разпространява в руските земи. Първата руска аритметика е публикувана през 1703 г. - това е книга за аритметика от Леонтий Магнитски. Дълго време той остава единственият учебник по математика. Той съдържа началните моменти на алгебрата и геометрията. Числата, използвани в примерите от първия учебник по аритметика в Русия, са арабски. Въпреки че арабските цифри са били виждани и преди, върху гравюри, датиращи от 17-ти век.
Самата книга е украсена с изображения на Архимед и Питагор, а на първия лист - изображението на аритметика във формата на жена. Тя седи на трон, под нея е изписана на иврит дума, обозначаваща името на Бог, а на стъпалата, които водят до трона, са изписани думите „разделяне“, „умножение“, „събиране“и т.н. истини които сега се считат за нещо обичайно.
Учебник от 600 страници обхваща както основите като таблици за събиране и умножение, така и приложения към навигационните науки.
Не е изненадващо, че авторът избра образи на гръцки мислители за книгата си, защото самият той беше запленен от красотата на аритметиката, казвайки: „Аритметиката е числителят, има изкуство честно, незавидно…“. Този подход към аритметиката е напълно оправдан, тъй като именно широкото му въвеждане може да се счита за начало на бързото развитие на научната мисъл в Русия и общото образование.
Непрости числа
Простото число е естествено число, което има само 2 положителни делителя: 1 и себе си. Всички останали числа, с изключение на 1, се наричат съставни. Примери за прости числа: 2, 3, 5, 7, 11 и всички останали, които нямат делители освен 1 и себе си.
Що се отнася до числото 1, то е на специална сметка - има споразумение, че не трябва да се счита нито за просто, нито за съставно. Просто на пръв поглед, простото число крие много неразгадани мистерии в себе си.
Теоремата на Евклид казва, че има безкраен брой прости числа, а Ератостен изобретява специално аритметично "сито", което елиминира непростите числа, оставяйки само прости.
Същността му е да подчертае първото незачертано число и впоследствие да зачеркне онези, които са кратни на него. Повтаряме тази процедура много пъти - и получаваме таблица с прости числа.
Основната теорема на аритметиката
Сред наблюденията за простите числа, основната теорема на аритметиката трябва да бъде спомената по специален начин.
Фундаменталната теорема на аритметиката казва, че всяко цяло число, по-голямо от 1, е или просто, или може да бъде разложено на продукт от прости числа до реда на факторите и по уникален начин.
Основната теорема на аритметиката се оказва доста тромава и разбирането й вече не изглежда като най-простите основи.
На пръв поглед простите числа са елементарно понятие, но не са. Физиката също някога е смятала атома за елементарен, докато не намери цялата вселена вътре в него. Прекрасен разказ на математика Дон Цагир "Първите петдесет милиона прости числа" е посветен на простите числа.
От "три ябълки" до дедуктивни закони
Това, което наистина може да се нарече подсилена основа на цялата наука, са законите на аритметиката. Дори в детството всеки се сблъсква с аритметика, изучавайки броя на краката и ръцете на куклите,броя на кубчетата, ябълките и т.н. Ето как изучаваме аритметика, която след това преминава в по-сложни правила.
Целият ни живот ни запознава с правилата на аритметиката, които са се превърнали за обикновения човек в най-полезното от всичко, което дава науката. Изучаването на числата е "аритметика-бебе", което въвежда човек в света на числата под формата на числа в ранна детска възраст.
Висшата аритметика е дедуктивна наука, която изучава законите на аритметиката. Познаваме повечето от тях, въпреки че може да не знаем точната им формулировка.
Законът за събиране и умножение
Две произволни естествени числа a и b могат да бъдат изразени като сума a+b, което също ще бъде естествено число. Следните закони се прилагат за събиране:
- Commutative, което казва, че сумата не се променя от пренареждането на термините, или a+b=b+a.
- Асоциативно, което казва, че сумата не зависи от начина, по който термините са групирани на места, или a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Правилата на аритметиката, като събирането, са сред най-елементарните, но се използват от всички науки, да не говорим за ежедневието.
Две произволни естествени числа a и b могат да бъдат изразени като произведение ab или ab, което също е естествено число. За продукта се прилагат същите комутативни и асоциативни закони като при събирането:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Чудя сече има закон, който обединява събиране и умножение, наричан още разпределителен или разпределителен закон:
a(b+c)=ab+ac
Този закон всъщност ни учи да работим със скоби, като ги разширяваме, така че можем да работим с по-сложни формули. Това са законите, които ще ни водят през странния и сложен свят на алгебрата.
Законът на аритметичния ред
Законът на реда се използва от човешката логика всеки ден, сравнявайки часовниците и броейки банкноти. И въпреки това той трябва да бъде формализиран под формата на специфични формулировки.
Ако имаме две естествени числа a и b, тогава са възможни следните опции:
- a е равно на b, или a=b;
- a е по-малко от b, или a < b;
- a е по-голямо от b или a > b.
От три варианта само една може да бъде справедлива. Основният закон, който управлява реда, казва: ако a < b и b < c, тогава a< c.
Има също закони, свързани с реда на умножение и събиране: ако a< е b, тогава a + c < b+c и ac< bc.
Законите на аритметиката ни учат да работим с числа, знаци и скоби, превръщайки всичко в хармонична симфония от числа.
Позиционно и непозиционно смятане
Може да се каже, че числата са математически език, от чието удобство зависи много. Има много бройни системи, които, подобно на азбуките на различните езици, се различават една от друга.
Нека разгледаме числовите системи от гледна точка на влиянието на позицията върху количествената стойностчисла в тази позиция. Така например римската система е непозиционна, където всяко число е кодирано от определен набор от специални знаци: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Те са равни, съответно, на числата 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. В такава система числото не променя количествената си дефиниция в зависимост от това в каква позиция се намира: първо, второ и т.н. За да получите други числа, трябва да добавите основните. Например:
- DCC=700.
- CCM=800.
По-познатата за нас бройна система, използваща арабски цифри, е позиционна. В такава система цифрата на число определя броя на цифрите, например трицифрени числа: 333, 567 и т.н. Теглото на всяка цифра зависи от позицията, в която се намира тази или онази цифра, например числото 8 на втората позиция има стойност 80. Това е типично за десетичната система, има и други позиционни системи, напр., двоичен.
Двоична аритметика
Запознати сме с десетичната система, състояща се от едноцифрени и многоцифрени числа. Числото отляво на многоцифрено число е десет пъти по-значимо от това вдясно. И така, свикнали сме да четем 2, 17, 467 и т. н. Разделът, наречен "двоична аритметика", има съвсем различна логика и подход. Това не е изненадващо, защото двоичната аритметика е създадена не за човешката логика, а за компютърната логика. Ако аритметиката на числата произлиза от броенето на обекти, което допълнително се абстрахира от свойствата на обекта до "гола" аритметика, тогава това няма да работи с компютър. За да можете да споделятес познанията си за компютър, човек трябваше да измисли такъв модел на смятане.
Двоичната аритметика работи с двоичната азбука, която се състои само от 0 и 1. И използването на тази азбука се нарича двоична система.
Разликата между двоичната аритметика и десетичната аритметика е, че значението на позицията вляво вече не е 10, а 2 пъти. Двоичните числа са от формата 111, 1001 и т.н. Как да разбираме такива числа? И така, помислете за числото 1100:
- Първата цифра вляво е 18=8, като се помни, че четвъртата цифра, което означава, че трябва да се умножи по 2, получаваме позиция 8.
- Втора цифра 14=4 (позиция 4).
- Трета цифра 02=0 (позиция 2).
- Четвърта цифра 01=0 (позиция 1).
- Значи нашият номер е 1100=8+4+0+0=12.
Тоест, при преминаване към нова цифра вляво, нейното значение в двоичната система се умножава по 2, а в десетичната - по 10. Такава система има един минус: това е твърде голямо увеличение на цифри, които са необходими за записване на числа. Примери за представяне на десетични числа като двоични числа могат да бъдат намерени в следващата таблица.
Десични числа в двоична форма са показани по-долу.
Използват се както осмична, така и шестнадесетична система.
Тази мистериозна аритметика
Какво е аритметика, "два пъти две" или неизследвани мистерии на числата? Както можете да видите, аритметиката може да изглежда проста на пръв поглед, но нейната неочевидна лекота е измамна. Може да се изучава и от деца заедно с леля Бухал откарикатура "Аритметика-бебе" и можете да се потопите в дълбоко научно изследване от почти философски ред. В историята тя премина от броене на предмети към преклонение пред красотата на числата. Само едно е известно със сигурност: с установяването на основните постулати на аритметиката, цялата наука може да разчита на своето здраво рамо.
