Намирането на детерминанта на матрица е важно действие не само за линейната алгебра: например в икономиката, използвайки това изчисление, се решават системи от линейни уравнения с много неизвестни, които се използват широко в икономически проблеми.
Определящо понятие
Определителят или детерминантата на матрица е стойност, равна на обема на паралелепипед, изграден върху неговите вектори на редове или колони. Тази стойност може да се изчисли само за квадратна матрица, която има същия брой редове и колони. Ако членовете на матрицата са числа, тогава детерминантата също ще бъде число.
Изчисляване на детерминанти
Трябва да се помни, че има няколко правила, които могат значително да улеснят подобни изчисления.
Така че детерминантата на матрица, състояща се от един член, е равна на единствения й елемент. Не е трудно да се изчисли детерминанта от втори ред, за това е достатъчно да се извади произведението на елементите, разположени на вторичния диагонал, от произведението на членовете на главния диагонал.
Изчисляването на детерминанта от 3-ти порядък е най-лесно да се направиспоред правилото на триъгълника. За да направите това, изпълнете следните действия:
- Намерете произведението на три члена на матрицата, разположени върху нейната основна
- Умножете по три члена, разположени върху триъгълници, чиито основи са успоредни на главния диагонал.
- Повторете първото и второто действие за вторичния диагонал.
- Намерете сумата от всички стойности, получени в предишните изчисления, докато числата, получени в третия параграф, се вземат със знак минус.
диагонали.
За лесно намиране на детерминанта на матрица от 4-ти порядък, както и по-високи измерения, е необходимо да се вземат предвид свойствата, които имат всички детерминанти:
- Стойността на детерминантата не се променя след транспониране на матрица.
- Промяната на позициите на два съседни реда или колони води до промяна в знака на детерминанта.
- Ако матрицата има два равни реда или колони, или всички елементи на колоната (реда) са нула, тогава нейният детерминант е равен на нула.
- Умножаването на числата на матрица по произволно число води до увеличаване на нейната детерминанта със същия брой пъти.
Използването на горните свойства помага лесно да се намери детерминантата на матрица от произволен ред. Например, използвайки метода за намаляване на реда за това, при който детерминантата се разширява с елементите на реда (колона), умножени по алгебричното допълнение.
Друг начин, който прави намирането на детерминанта много по-лесно
матрица е да я доведе до триъгълна форма, когато всички елементи под главния диагонал са равни на нула. В този случай детерминантата на матрицата се изчислява като произведение на числата, разположени на този диагонал.
И накрая, бих искал да отбележа, че изчисляването на детерминантите, въпреки че се състои от привидно прости математически изчисления, обаче изисква значителна грижа и постоянство.
