Въртенето на телата е един от важните видове механично движение в технологията и природата. За разлика от линейното движение, то се описва със собствен набор от кинематични характеристики. Едно от тях е ъгловото ускорение. Ние характеризираме тази стойност в статията.
Въртене движение
Преди да говорим за ъглово ускорение, нека опишем вида на движението, за което се отнася. Говорим за въртене, което е движението на телата по кръгови пътища. За да се осъществи ротация, трябва да бъдат изпълнени определени условия:
- наличие на ос или точка на въртене;
- наличието на центростремителна сила, която би поддържала тялото в кръгова орбита.
Примери за този тип движение са различни атракции, като въртележка. В инженерството въртенето се проявява в движението на колелата и валовете. В природата най-яркият пример за този тип движение е въртенето на планетите около собствената си ос и около Слънцето. Ролята на центростремителната сила в тези примери се играе от силите на междуатомното взаимодействие в твърдите тела и гравитационнитевзаимодействие.
Кинематични характеристики на въртене
Тези характеристики включват три величини: ъглово ускорение, ъглова скорост и ъгъл на въртене. Ще ги обозначаваме с гръцките символи α, ω и θ, съответно.
Тъй като тялото се движи в кръг, е удобно да се изчисли ъгълът θ, който ще завърти след определено време. Този ъгъл се изразява в радиани (рядко в градуси). Тъй като кръгът има 2 × pi радиана, можем да напишем уравнение, отнасящо θ до дължината на дъгата L на завоя:
L=θ × r
Където r е радиусът на въртене. Тази формула е лесна за получаване, ако си спомните съответния израз за обиколката.
Ъгловата скорост ω, подобно на линейния си аналог, описва скоростта на въртене около оста, тоест се определя според следния израз:
ω¯=d θ / d t
Величина ω¯ е векторна стойност. Той е насочен по оста на въртене. Неговата единица е радиани в секунда (rad/s).
Накрая, ъгловото ускорение е физическа характеристика, която определя скоростта на промяна в стойността на ω¯, която се записва математически, както следва:
α¯=d ω¯/ d t
Вектор α¯ е насочен към промяна на вектора на скоростта ω¯. По-нататък ще се каже, че ъгловото ускорение е насочено към вектора на момента на силата. Тази стойност се измерва в радиани.квадратна секунда (rad/s2).
Момент на сила и ускорение
Ако си припомним закона на Нютон, който свързва силата и линейното ускорение в едно равенство, тогава, прехвърляйки този закон в случая на въртене, можем да напишем следния израз:
M¯=I × α¯
Тук M¯ е моментът на силата, който е продукт на силата, която се стреми да завърти системата, умножена на лоста - разстоянието от точката на приложение на силата до оста. Стойността I е аналогична на масата на тялото и се нарича инерционен момент. Написаната формула се нарича уравнение на моментите. От него ъгловото ускорение може да се изчисли по следния начин:
α¯=M¯/ I
Тъй като I е скалар, α¯ винаги е насочено към действащия момент на силата M¯. Посоката на M¯ се определя от правилото на дясната ръка или правилото на джимлета. Векторите M¯ и α¯ са перпендикулярни на равнината на въртене. Колкото по-голям е инерционният момент на тялото, толкова по-ниска е стойността на ъгловото ускорение, което фиксираният момент M¯ може да придаде на системата.
Кинематични уравнения
За да разберем важната роля, която ъгловото ускорение играе при описването на движението на въртене, нека запишем формулите, свързващи кинематичните величини, изследвани по-горе.
В случай на равномерно ускорено въртене са валидни следните математически отношения:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Първата формула показва, че ъгловатаскоростта ще се увеличава с времето според линеен закон. Вторият израз ви позволява да изчислите ъгъла, на който тялото ще се обърне за известно време t. Графиката на функцията θ(t) е парабола. И в двата случая ъгловото ускорение е константа.
Ако използваме формулата за връзка между L и θ, дадена в началото на статията, можем да получим израз за α по отношение на линейното ускорение a:
α=a / r
Ако α е постоянно, тогава с увеличаване на разстоянието от оста на въртене r, линейното ускорение a ще нараства пропорционално. Ето защо за въртене се използват ъглови характеристики, за разлика от линейните, те не се променят с увеличаване или намаляване на r.
Примерен проблем
Металният вал, въртящ се с честота от 2000 оборота в секунда, започна да се забавя и спря напълно след 1 минута. Необходимо е да се изчисли с какво ъглово ускорение е протекъл процесът на забавяне на вала. Трябва също да изчислите броя на оборотите, които валът е направил преди да спре.
Процесът на забавяне на въртене се описва със следния израз:
ω=ω0- α × t
Началната ъглова скорост ω0 се определя от честотата на въртене f, както следва:
ω0=2 × pi × f
Тъй като знаем времето за забавяне, тогава получаваме стойността на ускорението α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Това число трябва да бъде взето със знак минус,защото говорим за забавяне на системата, а не за ускоряването й.
За да определите броя на оборотите, които валът ще направи по време на спиране, приложете израза:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376,806 рад.
Получената стойност на ъгъла на въртене θ в радиани просто се преобразува в броя на оборотите, направени от вала, преди да стигне до пълно спиране, като се използва просто деление на 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 оборота.
Така получихме всички отговори на въпросите на задачата: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 оборота.
