Какви са ирационалните числа? Защо се наричат така? Къде се използват и какви са те? Малцина могат да отговорят на тези въпроси без колебание. Но всъщност отговорите на тях са доста прости, въпреки че не всеки има нужда от тях и в много редки ситуации
Същност и обозначение
Ирационалните числа са безкрайни непериодични десетични дроби. Необходимостта от въвеждане на това понятие се дължи на факта, че съществуващите досега понятия за реални или реални, цели, естествени и рационални числа вече не бяха достатъчни за решаване на нови възникващи проблеми. Например, за да изчислите какво представлява квадратът от 2, трябва да използвате неповтарящи се безкрайни десетични знаци. Освен това много от най-простите уравнения също нямат решение без да се въведе концепцията за ирационално число.
Този набор се обозначава като I. И, както вече е ясно, тези стойности не могат да бъдат представени като проста дроб, в числителя на която ще има цяло число, а в знаменателя - естествено число.
За първи пътиначе индийските математици се сблъскват с това явление през 7 век пр.н.е., когато е открито, че квадратните корени на някои величини не могат да бъдат посочени изрично. И първото доказателство за съществуването на такива числа се приписва на Питагорейския Хипас, който направи това в процеса на изучаване на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Сериозен принос за изследването на този набор имат някои други учени, живели преди нашата ера. Въвеждането на концепцията за ирационалните числа доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, поради което те са толкова важни.
Произход на името
Ако ratio на латински означава "фракция", "съотношение", тогава префиксът "ir"
дава на тази дума противоположното значение. По този начин името на множеството от тези числа показва, че те не могат да бъдат свързани с цяло число или дробно, те имат отделно място. Това следва от тяхната същност.
Място в общото класиране
Ирационалните числа, заедно с рационалните числа, принадлежат към групата на реалните или реалните числа, които от своя страна принадлежат към комплексните числа. Няма подмножества, но има алгебрични и трансцендентални разновидности, които ще бъдат обсъдени по-долу.
Свойства
Тъй като ирационалните числа са част от набора от реални числа, всички техни свойства, които се изучават в аритметика (те също се наричат основни алгебрични закони), се отнасят за тях.
a + b=b + a (коммутативност);
(a + b) + c=a + (b + c)(асоциативност);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (съществуването на противоположното число);
ab=ba (закон за изместване);
(ab)c=a(bc) (разпределение);
a(b+c)=ab + ac (разпределителен закон);
a x 1=a
a x 1/a=1 (наличието на обратно число);
Сравнението също се извършва в съответствие с общите закони и принципи:
Ако a > b и b > c, тогава a > c (преходност на съотношението) и. и др.
Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат преобразувани с помощта на основна аритметика. Няма специални правила за това.
В допълнение, аксиомата на Архимед се отнася за ирационалните числа. Той казва, че за всякакви две количества a и b е вярно твърдението, че като вземете a като термин достатъчно пъти, можете да надминете b.
Използвайте
Въпреки факта, че в обикновения живот не ви се налага често да се справяте с тях, ирационалните числа не могат да бъдат преброени. Има много, но са почти невидими. Навсякъде сме заобиколени от ирационални числа. Примери, познати на всеки, са числото pi, равно на 3, 1415926 …, или e, което по същество е основата на естествения логаритъм, 2, 718281828 … В алгебрата, тригонометрията и геометрията те трябва да се използват постоянно. Между другото, известната стойност на "златното сечение", тоест съотношението както на по-голямата част към по-малката, така и обратно, също е
принадлежи към този набор. По-малко известно "сребро" - също.
Те са разположени много плътно на числовата права, така че между всякакви две стойности, свързани с множеството от рационални, със сигурност ще се появи ирационална.
Все още има много нерешени проблеми, свързани с този комплект. Има такива критерии като мярка за ирационалност и нормалност на число. Математиците продължават да разглеждат най-значимите примери за принадлежността им към една или друга група. Например, смята се, че e е нормално число, тоест вероятността различните цифри да се появят в неговия запис е една и съща. Що се отнася до пи, все още се провеждат изследвания по отношение на него. Мярка за ирационалност се нарича също стойност, показваща колко добре това или онова число може да бъде аппроксимирано от рационални числа.
Алгебрично и трансцендентално
Както вече споменахме, ирационалните числа се разделят условно на алгебрични и трансцендентални. Условно, тъй като, строго погледнато, тази класификация се използва за разделяне на множеството C.
Това обозначение крие комплексни числа, които включват реални или реални числа.
И така, алгебричната стойност е стойност, която е корен на полином, който не е идентично равен на нула. Например корен квадратен от 2 би бил в тази категория, защото е решение на уравнението x2 - 2=0.
Всички други реални числа, които не отговарят на това условие, се наричат трансцендентални. Към този сортвключват най-известните и вече споменати примери - числото pi и основата на естествения логаритъм e.
Интересно е, че нито едното, нито второто са били първоначално изведени от математиците в това качество, тяхната ирационалност и трансцендентност са доказани много години след тяхното откриване. За пи доказателството е дадено през 1882 г. и опростено през 1894 г., което сложи край на 2500-годишния спор за проблема с квадратурата на окръжността. Все още не е напълно разбрано, така че съвременните математици имат над какво да работят. Между другото, първото достатъчно точно изчисление на тази стойност е извършено от Архимед. Преди него всички изчисления бяха твърде приблизителни.
За e (числата на Ойлер или Напиер), доказателство за неговата трансцендентност е намерено през 1873 г. Използва се при решаване на логаритмични уравнения.
Други примери включват стойности на синус, косинус и тангенс за всякакви алгебрични стойности, различни от нула.
