Студентите по висша математика трябва да знаят, че сумата от някои степенни редове, принадлежащи към интервала на сходимост на дадения ред, се оказва непрекъсната и неограничен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: възможно ли е да се твърди, че дадена произволна функция f(x) е сумата от някакъв степенен ред? Тоест, при какви условия функцията f(x) може да бъде представена от степенен ред? Значението на този въпрос се състои във факта, че е възможно приблизително да се замени функцията f(x) със сумата от първите няколко члена от степенния ред, тоест с полином. Такава замяна на функция с доста прост израз - полином - е удобна и при решаване на някои задачи на математическия анализ, а именно: при решаване на интеграли, при изчисляване на диференциални уравнения и др.
Доказано е, че за някаква функция f(х), където производни до (n+1)-ти ред, включително последния, могат да бъдат изчислени в околността (α - R; x0 + R) на някаква точка x=α формулата е валидна:
Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Серията, която се получава от предишната се нарича серия на Маклорин:
Правилото, което прави възможно разширяването в серия Maclaurin:
- Определете производни на първата, втората, третата… поръчка.
- Изчислете на какво са равни производните при x=0.
- Запишете серия на Маклорен за тази функция и след това определете интервала на нейната конвергенция.
- Определете интервала (-R;R), където остава остатъкът от формулата на Маклорен
R (x) -> 0 за n -> безкрайност. Ако такава съществува, функцията f(x) в нея трябва да съвпада със сумата от редицата на Маклорен.
Сега разгледайте серията Maclaurin за отделни функции.
1. И така, първият ще бъде f(x)=ex. Разбира се, според характеристиките си, такава функция има производни на различни порядки и f(k)(x)=ex, където k е равно на всички естествени числа. Нека заместим x=0. Получаваме f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… ще изглежда така:
2. Редът на Маклорен за функцията f(x)=sin x. Веднага изяснете, че функцията за всички неизвестни ще има производни, освен f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), където k е равно на произволно естествено число. Тоест, след като направим прости изчисления, можем да стигнем до извода, че редът за f(x)=sin x ще изглежда така:
3. Сега нека се опитаме да разгледаме функцията f(x)=cos x. Тя е за всичко неизвестноима производни от произволен ред и |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Отново, след като направим някои изчисления, получаваме, че редът за f(x)=cos x ще изглежда така:
И така, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разширени в серията Maclaurin, но те са допълнени от серията на Тейлър за някои функции. Сега ще ги изброим. Също така си струва да се отбележи, че редовете на Тейлър и Маклорин са важна част от практиката за решаване на редове по висша математика. И така, сериалът на Тейлър.
1. Първият ще бъде серия за f-ii f(x)=ln(1+x). Както в предишните примери, като ни е дадено f (x)=ln (1 + x), можем да добавим серия, използвайки общата форма на реда на Маклорен. обаче за тази функция серия Maclaurin може да бъде получена много по-лесно. След интегриране на определен геометричен ред, получаваме серия за f(x)=ln(1+x) от тази извадка:
2. И вторият, който ще бъде окончателен в нашата статия, ще бъде серия за f (x) u003d arctg x. За x, принадлежащ на интервала [-1;1], разширението е валидно:
Това е. Тази статия разглежда най-често използваните серии на Тейлър и Маклорин във висшата математика, по-специално в икономическите и технически университети.
