Петоъгълната призма при решаване на задачи по геометрия е много по-рядко срещана от такива призми като триъгълна, четириъгълна или шестоъгълна. Въпреки това е полезно да прегледате основните свойства на тази форма, както и да научите как да я рисувате.
Какво е петоъгълна призма?
Това е триизмерна фигура, чиито основи са петоъгълници, а страните са успоредни. Ако всеки от тези паралелограми е перпендикулярен на успоредните основи, тогава такава призма се нарича правоъгълна. Страничната повърхност на правоъгълна петоъгълна призма е съставена от пет правоъгълника. Освен това страната, съседна на основата на всеки от тях, е равна на съответната дължина на страната на петоъгълника.
Ако петоъгълникът е правилен, тоест всичките му страни и ъгли са равни една на друга, тогава такава правоъгълна призма се нарича правилна. По-нататък в статията ще разгледаме свойствата на тази конкретна фигура.
Елементи на призма
За нея, както за всяка призма,следните елементи са характерни:
- лица или страни са части от равнини, които свързват фигура в пространството;
- върхове - точки на пресичане на три страни;
- ребра - сегменти от пресечната точка на двете страни на фигурата.
Номерите на всички наименувани елементи са свързани помежду си чрез следното равенство:
Брой ръбове=брой върхове + брой лица - 2
Този израз се нарича формула на Ойлер за полиедъра.
В петоъгълна призма броят на страните е седем (две основи + пет правоъгълника). Броят на върховете е 10 (пет за всяка основа). Броят на ръбовете в този случай ще бъде:
Брой на ребрата=10 + 7 - 2=15
Десет ръба принадлежат на основите на призмата, а пет ръба са образувани от правоъгълници.
Как да нарисуваме петоъгълна призма?
Отговорът на този въпрос зависи от конкретната задача. Ако е необходимо да се начертае произволна призма, тогава трябва да се начертае всеки петоъгълник. След това начертайте пет успоредни сегмента с еднаква дължина от всеки връх на петоъгълника. След това свържете горните краища на сегментите. Резултатът е петоъгълна произволна призма.
Ако е необходимо да се начертае правилна призма, тогава цялата сложност на задачата се свежда до получаването на правилен петоъгълник. Има няколко начина да нарисувате този многоъгълник. Тук ще разгледаме само два начина.
Първият начин е да нарисувате кръг с компас. След това се чертае произволен диаметъркръг и пет ъгъла се броят от него с помощта на транспортир при 72o(572o=360o). При броене на всеки ъгъл се прави прорез върху кръга. За да изградите правоъгълник, остава да свържете маркираните прорези с прави сегменти.
Вторият метод включва използването само на компас и линийка. Той е малко сложен в сравнение с предишния. По-долу има видеоклип, който обяснява подробно всяка стъпка от тази конструкция.
Забележете, че е лесно да нарисувате петоъгълник, ако свържете краищата на звездата. Ако не е необходимо да нарисувате точно правилен петоъгълник, тогава можете да използвате метода на ръчно нарисувана звезда.
Веднага след като петоъгълникът бъде начертан, начертайте пет еднакви успоредни сегмента от всеки от неговите върхове и свържете техните върхове. Резултатът е петоъгълна призма.
Зона на формата
Сега помислете как да намерите площта на петоъгълна призма. Фигурата по-долу показва неговото развитие. Вижда се, че необходимата площ се образува от два еднакви петоъгълника и пет правоъгълника, равни един на друг.
Площта на цялата повърхност на фигурата се изразява с формулата:
S=2So+ 5Sp
Тук индексите o и p означават съответно основата и правоъгълника. Нека означим дължината на страната на петоъгълника като a, а височината на фигурата като h. След това за правоъгълника пишем:
Sp=ah
За да изчислите площта на петоъгълник,използвайте универсалната формула:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Където n е броят на страните на многоъгълника. Замествайки n=5, получаваме:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Точността на полученото равенство е 3 знака след десетичната запетая, което е напълно достатъчно за решаване на всякакви проблеми.
Сега остава да намерим сумата от получените площи на основата и страничната повърхност. Имаме:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Трябва да се помни, че получената формула е валидна само за правоъгълна призма. В случай на наклонена фигура, площта на нейната странична повърхност се намира въз основа на познаването на периметъра на разреза, който трябва да е перпендикулярен на всички успоредници.
Обемът на фигурата
Формулата за изчисляване на обема на петоъгълна призма не се различава от подобен израз за всяка друга призма или цилиндър. Обемът на фигура е равен на произведението на нейната височина и площта на основата:
V=Soh
Ако въпросната призма е правоъгълна, тогава нейната височина е дължината на ръба, образуван от правоъгълниците. Площта на правилния петоъгълник е изчислена по-горе с висока точност. Заменете тази стойност във формулата за обем и получете необходимия израз за правилна петоъгълна призма:
V=1, 72a2h
По този начин се изчислява обем и повърхноствъзможна е правилна петоъгълна призма, ако страната на основата и височината на фигурата са известни.
