Преобразуването на Фурие е трансформация, която сравнява функциите на някаква реална променлива. Тази операция се извършва всеки път, когато възприемаме различни звуци. Ухото извършва автоматично "изчисление", което нашето съзнание е способно да извърши само след изучаване на съответния раздел от висшата математика. Човешкият слухов орган изгражда трансформация, в резултат на която звукът (осцилаторно движение на условни частици в еластична среда, които се разпространяват във форма на вълна в твърда, течна или газообразна среда) се осигурява под формата на спектър от последователни стойности на нивото на силата на звука на тонове с различна височина. След това мозъкът превръща тази информация в звук, познат на всички.
Математическа трансформация на Фурие
Трансформацията на звукови вълни или други осцилаторни процеси (от светлинно излъчване и океански прилив до цикли на звездна или слънчева активност) може също да се извърши с помощта на математически методи. Така че, използвайки тези техники, е възможно да се декомпозират функции, като се представят осцилаторни процеси като набор от синусоидални компоненти, тоест вълнообразни криви, коитовърви от ниско към високо, после обратно към ниско, като морска вълна. Преобразуване на Фурие - трансформация, чиято функция описва фазата или амплитудата на всяка синусоида, съответстваща на определена честота. Фазата е началната точка на кривата, а амплитудата е нейната височина.
Преобразуването на Фурие (примерите са показани на снимката) е много мощен инструмент, който се използва в различни области на науката. В някои случаи се използва като средство за решаване на доста сложни уравнения, които описват динамични процеси, протичащи под въздействието на светлина, топлинна или електрическа енергия. В други случаи ви позволява да определите редовните компоненти в сложни осцилаторни сигнали, благодарение на което можете правилно да интерпретирате различни експериментални наблюдения в химията, медицината и астрономията.
Историческа справка
Първият човек, приложил този метод, е френският математик Жан Батист Фурие. Трансформацията, по-късно наречена на него, първоначално е била използвана за описание на механизма на топлопроводимост. Фурие прекарва целия си възрастен живот в изучаване на свойствата на топлината. Той направи огромен принос към математическата теория за определяне на корените на алгебричните уравнения. Фурие беше професор по анализ в Политехническото училище, секретар на Института по египтология, беше в императорската служба, където се отличи по време на строителството на пътя за Торино (под негово ръководство повече от 80 хиляди квадратни километра маларийниблата). Цялата тази енергична дейност обаче не попречи на учения да прави математически анализ. През 1802 г. той извежда уравнение, което описва разпространението на топлина в твърди тела. През 1807 г. ученият открива метод за решаване на това уравнение, наречен "преобразуване на Фурие".
Анализ на топлопроводимост
Ученият приложи математически метод, за да опише механизма на топлопроводимост. Удобен пример, при който няма трудности при изчисляването, е разпространението на топлинна енергия през железен пръстен, потопен в една част в огън. За да проведе експерименти, Фурие нагрява част от този пръстен до червено и го заравя в фин пясък. След това той направи измервания на температурата от противоположната му страна. Първоначално разпределението на топлината е неравномерно: част от пръстена е студена, а другата е гореща; може да се наблюдава рязък температурен градиент между тези зони. Въпреки това, в процеса на разпространение на топлината по цялата повърхност на метала, той става по-равномерен. Така че скоро този процес приема формата на синусоида. Отначало графиката плавно се увеличава и също така плавно намалява, точно според законите за промяна на косинусовата или синусовата функция. Вълната постепенно се изравнява и в резултат температурата става еднаква по цялата повърхност на пръстена.
Авторът на този метод предполага, че първоначалното неправилно разпределение може да бъде разложено на множество елементарни синусоиди. Всеки от тях ще има своя собствена фаза (начална позиция) и своя собствена температурамаксимум. Освен това всеки такъв компонент се променя от минимум до максимум и обратно при пълен оборот около пръстена цял брой пъти. Компонент с един период се нарича основен хармоник, а стойност с два или повече периода се нарича втори и т.н. Така че математическата функция, която описва температурния максимум, фаза или позиция, се нарича преобразуване на Фурие на функцията на разпределение. Ученият редуцира един компонент, който е трудно да се опише математически, до лесен за използване инструмент - косинус и синус, които се сумират, за да дадат оригиналното разпределение.
Същността на анализа
Прилагайки този анализ към трансформацията на разпространението на топлина през твърд обект, който има пръстеновидна форма, математикът разсъждава, че увеличаването на периодите на синусоидалния компонент би довело до бързото му разпадане. Това ясно се вижда в основните и вторите хармоници. При последния температурата достига максималните и минималните стойности два пъти за едно преминаване, а в първия - само веднъж. Оказва се, че разстоянието, покрито от топлина във втория хармоник, ще бъде наполовина от това в основния. Освен това наклонът във втория също ще бъде два пъти по-стъмен от първия. Следователно, тъй като по-интензивният топлинен поток изминава два пъти по-кратко разстояние, този хармоник ще се разпадне четири пъти по-бързо от основния като функция на времето. В бъдеще този процес ще бъде още по-бърз. Математикът вярва, че този метод ви позволява да изчислите процеса на първоначалното разпределение на температурата във времето.
Предизвикателство към съвременниците
Алгоритъмът за преобразуване на Фурие оспорва теоретичните основи на математиката по това време. В началото на деветнадесети век повечето видни учени, включително Лагранж, Лаплас, Поасон, Лежандър и Био, не приемат твърдението му, че първоначалното разпределение на температурата се разлага на компоненти под формата на фундаментална хармоника и по-високи честоти. Въпреки това Академията на науките не може да пренебрегне резултатите, получени от математика, и му присъди награда за теорията на законите на топлопроводимостта, както и за сравняването й с физически експерименти. В подхода на Фурие основното възражение беше фактът, че прекъснатата функция е представена от сумата от няколко синусоидални функции, които са непрекъснати. В крайна сметка те описват разкъсани прави и извити линии. Съвременниците на учения никога не са срещали подобна ситуация, когато прекъснатите функции се описват чрез комбинация от непрекъснати, като квадратни, линейни, синусоидни или експоненциални. В случай, че математикът е бил прав в своите твърдения, тогава сумата от безкрайна серия от тригонометрична функция трябва да бъде намалена до точна стъпаловидна. По това време подобно твърдение изглеждаше абсурдно. Въпреки съмненията обаче някои изследователи (напр. Клод Навие, Софи Жермен) разшириха обхвата на изследванията и ги изведоха отвъд анализа на разпределението на топлинната енергия. Междувременно математиците продължиха да се борят с въпроса дали сборът от няколко синусоидални функции може да бъде сведен до точно представяне на прекъсната.
200 годиниистория
Тази теория се е развивала в продължение на два века, днес тя най-накрая се е оформила. С негова помощ пространствените или времеви функции се разделят на синусоидални компоненти, които имат собствена честота, фаза и амплитуда. Тази трансформация се получава чрез два различни математически метода. Първата от тях се използва, когато първоначалната функция е непрекъсната, а втората - когато е представена от набор от дискретни индивидуални промени. Ако изразът е получен от стойности, които са определени от дискретни интервали, тогава той може да бъде разделен на няколко синусоидални израза с дискретни честоти - от най-ниската и след това два пъти, три пъти и така нататък по-висока от основната. Такава сума се нарича ред на Фурие. Ако на първоначалния израз се даде стойност за всяко реално число, тогава той може да бъде разложен на няколко синусоиди от всички възможни честоти. Обикновено се нарича интеграл на Фурие и решението предполага интегрални трансформации на функцията. Независимо как се получава преобразуването, за всяка честота трябва да бъдат посочени две числа: амплитуда и честота. Тези стойности се изразяват като едно комплексно число. Теорията на изразите на комплексни променливи, заедно с трансформацията на Фурие, направи възможно извършването на изчисления при проектирането на различни електрически вериги, анализ на механичните вибрации, изследване на механизма на разпространение на вълните и др.
Трансформиране на Фурие днес
Днес изучаването на този процес се свежда главно до намирането на ефективенметоди за преход от функция към нейната трансформирана форма и обратно. Това решение се нарича пряко и обратно преобразуване на Фурие. Какво означава? За да се определи интегралът и да се получи директно преобразуване на Фурие, може да се използват математически методи или аналитични. Въпреки факта, че възникват определени трудности при използването им на практика, повечето интеграли вече са открити и включени в математическите справочници. Числени методи могат да се използват за изчисляване на изрази, чиято форма се основава на експериментални данни, или функции, чиито интеграли не са налични в таблици и са трудни за представяне в аналитична форма.
Преди появата на компютрите, изчисленията на такива трансформации бяха много досадни, изискваха ръчно изпълнение на голям брой аритметични операции, които зависеха от броя на точките, описващи вълновата функция. За да се улеснят изчисленията, днес има специални програми, които направиха възможно прилагането на нови аналитични методи. И така, през 1965 г. Джеймс Кули и Джон Тюки създават софтуер, който става известен като „Бързата трансформация на Фурие“. Позволява ви да спестите време за изчисления, като намалите броя на умноженията при анализа на кривата. Методът за бързо преобразуване на Фурие се основава на разделяне на кривата на голям брой равномерни извадкови стойности. Съответно, броят на умноженията се намалява наполовина със същото намаляване на броя на точките.
Прилагане на трансформацията на Фурие
Товапроцесът се използва в различни области на науката: в теория на числата, физика, обработка на сигнали, комбинаторика, теория на вероятностите, криптография, статистика, океанология, оптика, акустика, геометрия и др. Богатите възможности на неговото приложение се основават на редица полезни функции, които се наричат "свойства на преобразуване на Фурие". Помислете за тях.
1. Функционалната трансформация е линеен оператор и при подходяща нормализиране е унитарна. Това свойство е известно като теоремата на Парсевал, или най-общо теоремата на Планшерел, или дуализма на Понтрягин.
2. Трансформацията е обратима. Освен това обратният резултат има почти същата форма като при директното решение.
3. Синусоидалните основни изрази са собствени диференцирани функции. Това означава, че такова представяне променя линейните уравнения с постоянен коефициент в обикновени алгебрични.
4. Според теоремата за "конволюция" този процес превръща сложна операция в елементарно умножение.
5. Дискретното преобразуване на Фурие може бързо да се изчисли на компютър, като се използва "бързият" метод.
Разновидности на преобразуването на Фурие
1. Най-често този термин се използва за означаване на непрекъсната трансформация, която осигурява всеки квадратно интегрируем израз като сума от сложни експоненциални изрази със специфични ъглови честоти и амплитуди. Този вид има няколко различни форми, които могатсе различават по постоянни коефициенти. Непрекъснатият метод включва таблица за преобразуване, която може да се намери в математическите справочници. Обобщен случай е дробно преобразуване, с помощта на което даден процес може да бъде повдигнат до необходимата реална степен.
2. Непрекъснатият режим е обобщение на ранната техника на редовете на Фурие, дефинирани за различни периодични функции или изрази, които съществуват в ограничена област и ги представят като поредица от синусоиди.
3. Дискретно преобразуване на Фурие. Този метод се използва в компютърните технологии за научни изчисления и за цифрова обработка на сигнали. За извършване на този тип изчисление е необходимо да има функции, които дефинират отделни точки, периодични или ограничени области върху дискретно множество вместо непрекъснати интеграли на Фурие. Трансформацията на сигнала в този случай се представя като сума от синусоиди. В същото време използването на „бързия“метод дава възможност за прилагане на дискретни решения на всякакви практически проблеми.
4. Преобразуването на Фурие с прозорец е обобщена форма на класическия метод. За разлика от стандартното решение, когато се използва спектърът на сигнала, който се взема в пълния обхват на съществуването на дадена променлива, тук от особен интерес представлява само локалното честотно разпределение, при условие че се запазва оригиналната променлива (време).
5. Двумерно преобразуване на Фурие. Този метод се използва за работа с двумерни масиви от данни. В този случай първо трансформацията се извършва в една посока, а след това навътредруго.
Заключение
Днес методът на Фурие е здраво закрепен в различни области на науката. Например, през 1962 г. формата на двойната спирала на ДНК е открита с помощта на анализ на Фурие, комбиниран с дифракция на рентгенови лъчи. Последните бяха фокусирани върху кристали от ДНК влакна, в резултат на което изображението, получено чрез дифракция на радиация, беше записано на филм. Тази картина даде информация за стойността на амплитудата при използване на преобразуването на Фурие към дадена кристална структура. Данните за фазите са получени чрез сравняване на дифракционната карта на ДНК с карти, получени от анализа на подобни химични структури. В резултат биолозите са възстановили кристалната структура - първоначалната функция.
Преобразуванията на Фурие играят огромна роля в изучаването на космоса, физиката на полупроводниците и плазмата, микровълновата акустика, океанографията, радара, сеизмологията и медицинските изследвания.
