Редата на Фурие е представяне на произволно взета функция с определен период като серия. Най-общо това решение се нарича разлагане на елемент в ортогонална основа. Разширяването на функциите в ред на Фурие е доста мощен инструмент за решаване на различни проблеми поради свойствата на тази трансформация при интегриране, диференциране, както и изместване на израз в аргумент и конволюция.
Човек, който не е запознат с висшата математика, както и с трудовете на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разбере какво представляват тези „редове“и за какво служат. Междувременно тази трансформация стана доста плътна в живота ни. Използва се не само от математици, но и от физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанографи и много други. Нека разгледаме по-отблизо трудовете на великия френски учен, който направи откритие изпреварващо времето си.
Човекът и трансформацията на Фурие
Редовете на Фурие са един от методите (заедно с анализа и други) на преобразуването на Фурие. Този процес се случва всеки път, когато човек чуе звук. Нашето ухо автоматично преобразува звукавълни. Осцилаторните движения на елементарните частици в еластична среда се разлагат на редове (по протежение на спектъра) от последователни стойности на нивото на силата на звука за тонове с различна височина. След това мозъкът превръща тези данни в познати за нас звуци. Всичко това се случва в допълнение към нашето желание или съзнание, от само себе си, но за да разберем тези процеси, ще са необходими няколко години за изучаване на висша математика.
Още за трансформацията на Фурие
Преобразуването на Фурие може да се извърши чрез аналитични, числени и други методи. Редовете на Фурие се отнасят до числовия начин за разлагане на всякакви колебателни процеси - от океански приливи и светлинни вълни до цикли на слънчева (и други астрономически обекти) активност. Използвайки тези математически техники, е възможно да се анализират функции, представящи всякакви осцилаторни процеси като серия от синусоидални компоненти, които преминават от минимум към максимум и обратно. Преобразуването на Фурие е функция, която описва фазата и амплитудата на синусоидите, съответстващи на конкретна честота. Този процес може да се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамични процеси, възникващи под въздействието на топлинна, светлинна или електрическа енергия. Също така, сериите на Фурие позволяват изолирането на постоянните компоненти в сложни осцилаторни сигнали, което прави възможно правилното интерпретиране на получените експериментални наблюдения в медицината, химията и астрономията.
Историческа справка
Баща-основател на тази теорияЖан Батист Жозеф Фурие е френски математик. Впоследствие тази трансформация е кръстена на него. Първоначално ученият прилага своя метод за изследване и обяснение на механизмите на топлопроводимост – разпространението на топлината в твърдите тела. Фурие предполага, че първоначалното неправилно разпределение на топлинната вълна може да бъде разложено на най-простите синусоиди, всяка от които ще има свой температурен минимум и максимум, както и своя собствена фаза. В този случай всеки такъв компонент ще бъде измерен от минимум до максимум и обратно. Математическата функция, която описва горния и долния пик на кривата, както и фазата на всеки от хармониците, се нарича преобразуване на Фурие на израза за разпределение на температурата. Авторът на теорията редуцира общата функция на разпределение, която е трудно да се опише математически, до много лесна за работа поредица от периодични косинусови и синусоидални функции, които се добавят към оригиналното разпределение.
Принципът на трансформацията и възгледите на съвременниците
Съвременниците на учения - водещите математици от началото на деветнадесети век - не приемат тази теория. Основното възражение беше твърдението на Фурие, че прекъсната функция, описваща права линия или прекъсната крива, може да бъде представена като сбор от синусоидални изрази, които са непрекъснати. Като пример, разгледайте "стъпката" на Хевисайд: нейната стойност е нула вляво от празнината и една вдясно. Тази функция описва зависимостта на електрическия ток от времевата променлива, когато веригата е затворена. Съвременниците на теорията по това време никога не са се сблъсквали с таковаситуация, при която прекъснатият израз ще бъде описан чрез комбинация от непрекъснати, обикновени функции, като експоненциална, синусоидна, линейна или квадратична.
Какво обърка френските математици в теорията на Фурие?
В края на краищата, ако математикът е бил прав в своите твърдения, тогава сумиране на безкрайния тригонометричен ред на Фурие, можете да получите точно представяне на стъпковия израз, дори ако има много подобни стъпки. В началото на деветнадесети век подобно твърдение изглеждаше абсурдно. Но въпреки всички съмнения, много математици разшириха обхвата на изследването на това явление, извеждайки го извън рамките на изследванията на топлопроводимостта. Повечето учени обаче продължиха да агонизират по въпроса: „Може ли сумата от синусоидален ред да се доближи до точната стойност на прекъсната функция?“
Сближаване на редовете на Фурие: пример
Въпросът за конвергенцията се повдига винаги, когато е необходимо да се сумират безкрайни серии от числа. За да разберете това явление, разгледайте класически пример. Можете ли някога да стигнете до стената, ако всяка следваща стъпка е наполовина по-малка от предишната? Да предположим, че сте на два метра от целта, първата стъпка ви доближава до средата на пътя, следващата до три четвърти, а след петата ще изминете почти 97 процента от пътя. Въпреки това, колкото и стъпки да предприемете, няма да постигнете набелязаната цел в строг математически смисъл. Използвайки числени изчисления, може да се докаже, че в крайна сметка човек може да се доближи толкова, колкото желае.малко определено разстояние. Това доказателство е еквивалентно на демонстриране, че сумата на стойността на една половина, една четвърт и т.н. ще клони към единица.
Въпрос за сближаване: Второто пришествие, или уредът на лорд Келвин
Неколкократно този въпрос е повдиган в края на деветнадесети век, когато редовете на Фурие се опитват да се използват за прогнозиране на интензивността на приливите и отливите. По това време лорд Келвин изобретява устройство, което е аналогово изчислително устройство, което позволява на моряците от военния и търговския флот да проследяват този природен феномен. Този механизъм определя наборите от фази и амплитуди от таблица с височини на приливите и съответните им времеви моменти, внимателно измерени в дадено пристанище през годината. Всеки параметър беше синусоидален компонент на израза на височината на прилива и беше един от редовните компоненти. Резултатите от измерванията бяха въведени в калкулатора на лорд Келвин, който синтезира крива, която предвижда височината на водата като функция от времето за следващата година. Много скоро подобни криви бяха начертани за всички пристанища по света.
А ако процесът е нарушен от прекъсната функция?
По това време изглеждаше очевидно, че предикторът на приливните вълни с голям брой броещи елементи може да изчисли голям брой фази и амплитуди и по този начин да осигури по-точни прогнози. Въпреки това се оказа, че тази закономерност не се наблюдава в случаите, когато приливният израз, който следвасинтезира, съдържаше рязък скок, тоест беше прекъснат. В случай, че в устройството се въвеждат данни от таблицата с времеви моменти, то изчислява няколко коефициента на Фурие. Оригиналната функция се възстановява благодарение на синусоидалните компоненти (според намерените коефициенти). Несъответствието между оригиналния и възстановения израз може да бъде измерено във всяка точка. При извършване на многократни изчисления и сравнения може да се види, че стойността на най-голямата грешка не намалява. Те обаче са локализирани в областта, съответстваща на точката на прекъсване, и клонят към нула във всяка друга точка. През 1899 г. този резултат е теоретично потвърден от Джошуа Уилард Гибс от Йейлския университет.
Сближаване на редовете на Фурие и развитието на математиката като цяло
Анализът на Фурие не е приложим за изрази, съдържащи безкраен брой пакети в определен интервал. Като цяло редовете на Фурие, ако първоначалната функция е резултат от реално физическо измерване, винаги се сближават. Въпросите за конвергенцията на този процес за конкретни класове функции доведоха до появата на нови раздели в математиката, например теорията на обобщените функции. Свързва се с имена като Л. Шварц, Дж. Микусински и Дж. Темпъл. В рамките на тази теория беше създадена ясна и точна теоретична основа за такива изрази като делта функцията на Дирак (тоя описва област от една област, концентрирана в безкрайно малък квартал на точка) и Heaviside стъпка”. Благодарение на тази работа, редът на Фурие стана приложим къмрешаване на уравнения и задачи, които включват интуитивни понятия: точков заряд, точкова маса, магнитни диполи, както и концентриран товар върху лъч.
Метод на Фурие
Редовете на Фурие, в съответствие с принципите на интерференцията, започват с разлагането на сложни форми в по-прости. Например промяната в топлинния поток се обяснява с преминаването му през различни препятствия, изработени от топлоизолационен материал с неправилна форма или промяна в земната повърхност - земетресение, промяна в орбитата на небесно тяло - влиянието на планети. По правило подобни уравнения, описващи прости класически системи, се решават елементарно за всяка отделна вълна. Фурие показа, че простите решения също могат да бъдат сумирани, за да дадат решения на по-сложни проблеми. На езика на математиката редът на Фурие е техника за представяне на израз като сума от хармоници - косинус и синусоиди. Следователно този анализ е известен още като "хармоничен анализ".
Серия на Фурие - идеалната техника преди "компютърната ера"
Преди създаването на компютърните технологии, техниката на Фурие беше най-доброто оръжие в арсенала на учените, когато работеха с вълновата природа на нашия свят. Редът на Фурие в сложна форма позволява решаването не само на прости задачи, които могат да бъдат директно приложени към законите на механиката на Нютон, но и на фундаментални уравнения. Повечето от откритията на Нютоновата наука през деветнадесети век са направени възможни само от техниката на Фурие.
серия на Фурие днес
С развитието на компютрите за трансформиране на Фуриеиздигнат на съвсем ново ниво. Тази техника е здраво закрепена в почти всички области на науката и технологиите. Пример за това е цифров аудио и видео сигнал. Реализирането му става възможно само благодарение на теорията, разработена от френски математик в началото на деветнадесети век. По този начин редът на Фурие в сложна форма позволи да се направи пробив в изследването на космическото пространство. В допълнение, той повлия на изучаването на физиката на полупроводниковите материали и плазмата, микровълнова акустика, океанография, радар, сеизмология.
Тригонометрична серия на Фурие
В математиката редът на Фурие е начин за представяне на произволни сложни функции като сбор от по-прости. В общи случаи броят на такива изрази може да бъде безкраен. Освен това, колкото повече се вземе предвид техният брой при изчислението, толкова по-точен е крайният резултат. Най-често тригонометричните функции на косинус или синус се използват като най-прости. В този случай редът на Фурие се нарича тригонометричен, а решението на такива изрази се нарича разширение на хармоника. Този метод играе важна роля в математиката. На първо място, тригонометричният ред осигурява средство за изображение, както и за изучаване на функциите, той е основният апарат на теорията. Освен това позволява решаването на редица проблеми на математическата физика. И накрая, тази теория допринесе за развитието на математическия анализ, породи редица много важни раздели на математическата наука (теория на интегралите, теория на периодичните функции). Освен това той послужи като отправна точка за развитието на следните теории: множества, функцииреален променлив, функционален анализ, а също така положи основата за хармоничен анализ.
