Полином, или полином - една от основните алгебрични структури, която се среща в училище и висша математика. Изучаването на полином е най-важната тема в курса по алгебра, тъй като, от една страна, полиномите са доста прости в сравнение с други видове функции, а от друга страна, те се използват широко при решаването на задачи на математическия анализ. И така, какво е полином?
Определение
Определението на термина полином може да бъде дадено чрез концепцията за моном или моном.
Едночленът е израз на формата cx1i1x2 i2 …x в. Тук с е константа, x1, x2, … x - променливи, i1, i2, … в - експоненти на променливи. Тогава полиномът е всеки краен сбор от мономи.
За да разберете какво е полином, можете да разгледате конкретни примери.
Квадратният тричлен, разгледан подробно в курса по математика за 8. клас, е полином: ax2+bx+c.
Полином с две променливи може да изглежда така: x2-xy+y2. Такаваполиномът се нарича още непълен квадрат на разликата между x и y.
Полиномни класификации
Полиномна степен
За всеки моном от полинома намерете сумата от експонентите i1+i2+…+in. Най-големият от сумите се нарича степен на полинома, а мономът, съответстващ на тази сума, се нарича най-висок член.
Между другото, всяка константа може да се счита за полином от степен нула.
Намалени и нередуцирани полиноми
Ако коефициентът c е равен на 1 за най-големия член, тогава се дава полиномът, в противен случай не е.
Например, изразът x2+2x+1 е редуциран полином, а 2x2+2x+1 не е редуциран.
Еднородни и нехомогенни полиноми
Ако степените на всички членове на полинома са равни, тогава казваме, че такъв полином е хомогенен. Всички други полиноми се считат за нехомогенни.
Хомогенни полиноми: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Хетерогенни: x+1, x2+y.
Има специални имена за полином от два и три члена: бином и тричлен, съответно.
Полиномите от една променлива се разпределят в отделна категория.
Прилагане на полином от една променлива
Полиномите на една променлива приближават добре непрекъснати функции с различна сложност от един аргумент.
Факт е, че такива полиноми могат да се разглеждат като частични суми от степенен ред, а непрекъсната функция може да бъде представена като серия с произволно малка грешка. Разширителните редове на функция се наричат редове на Тейлър и технитечастични суми под формата на полиноми - полиноми на Тейлър.
Изучаването графично на поведението на функция чрез апроксимирането й с някакъв полином често е по-лесно, отколкото директно изследване на същата функция или използване на серия.
Лесно е да се търсят производни на полиноми. За намиране на корените на полиноми от степен 4 и по-ниски има готови формули, а за работа с по-високи степени се използват високопрецизни приблизителни алгоритми.
Има също обобщение на описаните полиноми за функции на няколко променливи.
бином на Нютон
Известните полиноми са полиноми на Нютон, извлечени от учени за намиране на коефициентите на израза (x + y).
Достатъчно е да погледнете първите няколко степени на биномното разлагане, за да се уверите, че формулата е нетривиална:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
За всеки коефициент има израз, който ви позволява да го изчислите. Въпреки това, запомнянето на тромави формули и извършването на необходимите аритметични операции всеки път би било изключително неудобно за онези математици, които често се нуждаят от такива разширения. Триъгълникът на Паскал направи живота им много по-лесен.
Фигурата е изградена по следния принцип. 1 се записва в горната част на триъгълника и във всеки следващ ред става още една цифра, 1 се поставя в краищата, а средата на реда се запълва със сумите на две съседни числа от предишния.
Когато погледнете илюстрацията, всичко става ясно.
Разбира се, използването на полиноми в математиката не се ограничава до дадените примери, най-широко известните.
