Кръгът е основната фигура в геометрията, чиито свойства се разглеждат в училище в 8-ми клас. Един от типичните проблеми, свързани с кръг, е да се намери площта на част от него, която се нарича кръгъл сектор. Статията предоставя формули за площта на сектор и дължината на дъгата му, както и пример за тяхното използване за решаване на конкретен проблем.
Концепцията за кръг и кръг
Преди да дадем формулата за площта на сектор от кръг, нека помислим каква е посочената фигура. Според математическата дефиниция под кръг се разбира такава фигура в равнина, всички точки на която са еднакво отдалечени от някаква точка (център).
Когато разглеждаме кръг, се използва следната терминология:
- Радиус - сегмент, който е начертан от централната точка до кривата на окръжността. Обикновено се обозначава с буквата R.
- Диаметърът е сегмент, който свързва две точки от окръжността, но също така минава през центъра на фигурата. Обикновено се обозначава с буквата D.
- Дъгата е част от извита окръжност. Измерва се или в единици за дължина, или с помощта на ъгли.
Кръгът е друга важна геометрична фигура, това е колекция от точки, която е ограничена от извита окръжност.
Площ на кръг и обиколка
Стойностите, отбелязани в заглавието на артикула, се изчисляват с помощта на две прости формули. Те са изброени по-долу:
- Обиколка: L=2piR.
- Площ на кръг: S=piR2.
В тези формули pi е някаква константа, наречена Pi. То е ирационално, тоест не може да бъде изразено точно като проста дроб. Пи е приблизително 3,1416.
Както можете да видите от горните изрази, за да изчислите площта и дължината, е достатъчно да знаете само радиуса на окръжността.
Площта на сектора на окръжността и дължината на дъгата му
Преди да разгледаме съответните формули, припомняме, че ъгълът в геометрията обикновено се изразява по два основни начина:
- в шестдесетични градуси и пълно завъртане около оста му е 360o;
- в радиани, изразени като дроби от пи и свързани с градуси чрез следното уравнение: 2pi=360o.
Секторът на кръг е фигура, ограничена от три линии: дъга на окръжност и два радиуса, разположени в краищата на тази дъга. Пример за кръгъл сектор е показан на снимката по-долу.
Лесно е да получите представа какво е сектор за кръгразберете как да изчислите неговата площ и дължината на съответната дъга. От фигурата по-горе се вижда, че дъгата на сектора съответства на ъгъла θ. Знаем, че пълен кръг съответства на 2pi радиана, така че формулата за площта на кръгов сектор ще приеме формата: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Тук ъгълът θ се изразява в радиани. Подобна формула за площта на сектора, ако ъгълът θ се измерва в градуси, ще изглежда така: S1=piθR2 /360.
Дължината на дъгата, образуваща сектор, се изчислява по формулата: L1=θ2piR/(2pi)=θR. И ако θ е известно в градуси, тогава: L1=piθR/180.
Пример за решаване на проблеми
Нека използваме примера на прост проблем, за да покажем как да използваме формулите за площта на сектор на кръг и дължината на неговата дъга.
Известно е, че колелото има 12 спици. Когато колелото направи един пълен оборот, то покрива разстояние от 1,5 метра. Каква е площта, затворена между две съседни спици на колелото и каква е дължината на дъгата между тях?
Както можете да видите от съответните формули, за да ги използвате, трябва да знаете две величини: радиуса на окръжността и ъгъла на дъгата. Радиусът може да се изчисли от познаването на обиколката на колелото, тъй като разстоянието, изминато от него за един оборот, отговаря точно на него. Имаме: 2Rpi=1,5, откъдето: R=1,5/(2pi)=0,2387 метра. Ъгълът между най-близките спици може да се определи, като се знае техният брой. Ако приемем, че всичките 12 спици разделят кръга равномерно на равни сектори, получаваме 12 еднакви сектора. Съответно, ъгловата мярка на дъгата между двете спици е: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 радиана.
Намерихме всички необходими стойности, сега те могат да бъдат заместени във формулите и да изчислим стойностите, изисквани от условието на задачата. Получаваме: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, или 149 см2; L1=0,52360,2387=0,125 m или 12,5 cm.
