Обемът е характеристика на всяка фигура, която има ненулеви измерения и в трите измерения на пространството. В тази статия, от гледна точка на стереометрията (геометрията на пространствените фигури), ще разгледаме призма и ще покажем как да намерим обемите на призмите от различни видове.
Какво е призма?
Стереометрията има точния отговор на този въпрос. Под призма в нея се разбира фигура, образувана от две еднакви многоъгълни лица и няколко успоредника. Снимката по-долу показва четири различни призми.
Всеки от тях може да бъде получен по следния начин: трябва да вземете многоъгълник (триъгълник, четириъгълник и т.н.) и сегмент с определена дължина. След това всеки връх на многоъгълника трябва да бъде прехвърлен с помощта на успоредни сегменти в друга равнина. В новата равнина, която ще бъде успоредна на оригиналната, ще се получи нов многоъгълник, подобен на избрания първоначално.
Призмите могат да бъдат различни видове. Така че те могат да бъдат прави, наклонени и правилни. Ако страничният ръб на призмата (сегмент,свързващ върховете на основите) перпендикулярно на основите на фигурата, тогава последната е права линия. Съответно, ако това условие не е изпълнено, тогава говорим за наклонена призма. Правилната фигура е дясна призма с равноъгълна и равностранна основа.
По-късно в статията ще покажем как да изчислим обема на всеки от тези видове призми.
Обем на правилните призми
Нека започнем с най-простия случай. Даваме формулата за обема на обикновена призма с n-ъгълна основа. Формулата за обем V за всяка фигура от разглеждания клас е както следва:
V=Soh.
Тоест, за да се определи обемът, е достатъчно да се изчисли площта на една от основите So и да се умножи по височината h на фигурата.
В случай на обикновена призма, нека да обозначим дължината на страната на основата й с буквата a, а височината, която е равна на дължината на страничния ръб, с буквата h. Ако основата на n-ъгълника е правилна, тогава най-лесният начин да изчислите неговата площ е да използвате следната универсална формула:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Замествайки стойността на броя на страните n и дължината на едната страна a в равенство, можете да изчислите площта на n-ъгълната основа. Имайте предвид, че котангенсната функция тук се изчислява за ъгъла pi/n, който се изразява в радиани.
Като се има предвид равенството, написано за S, получаваме окончателната формула за обема на обикновена призма:
V=n/4a2hctg(pi/n).
За всеки конкретен случай можете да напишете съответните формули за V, но всички тееднозначно следват от писмения общ израз. Например, за правилна четириъгълна призма, която в общия случай е правоъгълен паралелепипед, получаваме:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Ако вземем h=a в този израз, тогава получаваме формулата за обема на куба.
Обем на директните призми
Веднага отбелязваме, че за прави фигури няма обща формула за изчисляване на обема, която беше дадена по-горе за правилните призми. При намиране на въпросната стойност трябва да се използва оригиналният израз:
V=Soh.
Тук h е дължината на страничния ръб, както в предишния случай. Що се отнася до основната площ So, тя може да приеме различни стойности. Задачата за изчисляване на права призма с обем се свежда до намиране на площта на нейната основа.
Изчисляването на стойността на So трябва да се извърши въз основа на характеристиките на самата база. Например, ако е триъгълник, тогава площта може да се изчисли по следния начин:
So3=1/2aha.
Тук ha е апотемата на триъгълника, тоест височината му, намалена до основата a.
Ако основата е четириъгълник, тогава тя може да бъде трапец, успоредник, правоъгълник или напълно произволен тип. За всички тези случаи трябва да използвате подходящата формула за планиметрия, за да определите площта. Например за трапец тази формула изглежда така:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Където ha е височината на трапеца, a1 и a2 са дължините на успоредните му страни.
За да определите площта за многоъгълници от по-висок порядък, трябва да ги разделите на прости форми (триъгълници, четириъгълници) и да изчислите сумата от площите на последните.
Обем на наклонена призма
Това е най-трудният случай на изчисляване на обема на призмата. Общата формула за такива цифри също е в сила:
V=Soh.
Въпреки това, към сложността на намирането на площта на основата, представляваща произволен тип многоъгълник, се добавя проблемът за определяне на височината на фигурата. Тя винаги е по-малка от дължината на страничния ръб в наклонена призма.
Най-лесният начин да намерите тази височина е, ако знаете някакъв ъгъл на фигурата (плосък или двуграничен). Ако е даден такъв ъгъл, тогава човек трябва да го използва за конструиране на правоъгълен триъгълник вътре в призмата, който ще съдържа височината h като една от страните и, използвайки тригонометричните функции и питагоровата теорема, да намери стойността h.
Проблем с геометричен обем
Дадена е правилна призма с триъгълна основа, с височина 14 см и дължина на страната 5 см. Какъв е обемът на триъгълната призма?
Тъй като говорим за правилната фигура, имаме право да използваме добре познатата формула. Имаме:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Триъгълната призма е доста симетрична фигура, под формата на която често се правят различни архитектурни структури. Тази стъклена призма се използва в оптиката.
