Едно от характерните свойства на всяка вълна е способността й да дифрагира върху препятствия, чийто размер е сравним с дължината на вълната на тази вълна. Това свойство се използва в така наречените дифракционни решетки. Какво представляват те и как могат да се използват за анализ на емисионните и абсорбционните спектри на различни материали, е разгледано в статията.
Феномен на дифракция
Това явление се състои в промяна на траекторията на праволинейното разпространение на вълна, когато на пътя й се появи препятствие. За разлика от пречупването и отражението, дифракцията се забелязва само при много малки препятствия, чиито геометрични размери са от порядъка на дължина на вълната. Има два вида дифракция:
- вълна се огъва около обект, когато дължината на вълната е много по-голяма от размера на този обект;
- разпръскване на вълна при преминаване през дупки с различни геометрични форми, когато размерите на дупките са по-малки от дължината на вълната.
Явлението дифракция е характерно за звуковите, морските и електромагнитните вълни. По-нататък в статията ще разгледаме дифракционна решетка само за светлина.
Феномен на интерференция
Дифракционните модели, появяващи се върху различни препятствия (кръгли дупки, процепи и решетки), са резултат не само от дифракция, но и от интерференция. Същността на последното е наслагването на вълни една върху друга, които се излъчват от различни източници. Ако тези източници излъчват вълни, като същевременно поддържат фазова разлика между тях (свойството на кохерентност), тогава може да се наблюдава стабилен модел на интерференция във времето.
Положението на максимумите (светли зони) и минимуми (тъмни зони) се обяснява по следния начин: ако две вълни пристигат в дадена точка в антифаза (едната с максимум, а другата с минимална абсолютна амплитуда), след това те се "унищожават" един друг и в точката се наблюдава минимум. Напротив, ако две вълни дойдат в една и съща фаза до точка, тогава те ще се подсилят една друга (максимум).
И двете явления са описани за първи път от англичанина Томас Йънг през 1801 г., когато той изучава дифракцията от два процепа. Италианецът Грималди обаче за първи път наблюдава това явление през 1648 г., когато изследва дифракционната картина, дадена от слънчевата светлина, преминаваща през малка дупка. Грималди не успя да обясни резултатите от своите експерименти.
Математически метод, използван за изследване на дифракция
Този метод се нарича принцип на Хюйгенс-Френел. Състои се в твърдението, че в процесаразпространение на фронта на вълната, всяка от нейните точки е източник на вторични вълни, чиято интерференция определя резултантната осцилация в произволна разглеждана точка.
Описаният принцип е разработен от Августин Френел през първата половина на 19 век. В същото време Френел изхожда от идеите на вълновата теория на Кристиан Хюйгенс.
Въпреки че принципът на Хюйгенс-Френел не е теоретично строг, той е бил успешно използван за математическо описание на експерименти с дифракция и интерференция.
Дифракция в близкото и далечното поле
Дифракцията е доста сложно явление, точното математическо решение на което изисква разглеждане на теорията на Максуел за електромагнетизма. Следователно на практика се разглеждат само специални случаи на това явление, като се използват различни приближения. Ако фронтът на вълната, падащ върху препятствието, е плосък, тогава се разграничават два вида дифракция:
- в близкото поле, или дифракция на Френел;
- в далечното поле или дифракция на Фраунхофер.
Думите "далечно и близко поле" означават разстоянието до екрана, на което се наблюдава дифракционната картина.
Преходът между дифракцията на Фраунхофер и Френел може да бъде оценен чрез изчисляване на числото на Френел за конкретен случай. Това число се дефинира, както следва:
F=a2/(Dλ).
Тук λ е дължината на вълната на светлината, D е разстоянието до екрана, a е размерът на обекта, върху който се получава дифракция.
Ако F<1, тогава помислетевече приближения в близкото поле.
Много практически случаи, включително използването на дифракционна решетка, се разглеждат в приближението на далечното поле.
Концепцията за решетка, върху която вълните дифрагират
Тази решетка е малък плосък обект, върху който по някакъв начин е приложена периодична структура, като ивици или жлебове. Важен параметър на такава решетка е броят на лентите на единица дължина (обикновено 1 mm). Този параметър се нарича константа на решетката. По-нататък ще го обозначим със символа N. Реципрочната стойност на N определя разстоянието между съседните ленти. Нека го обозначим с буквата d, след което:
d=1/N.
Когато плоска вълна падне върху такава решетка, тя изпитва периодични смущения. Последните се показват на екрана под формата на определена картина, която е резултат от вълнова интерференция.
Видове решетки
Има два вида дифракционни решетки:
- пропускане или прозрачно;
- отразителен.
Първите се правят чрез нанасяне на непрозрачни щрихи върху стъкло. С такива плочи работят в лаборатории, използват се в спектроскопи.
Вторият тип, тоест светлоотразителни решетки, се правят чрез прилагане на периодични канали върху полирания материал. Поразителен ежедневен пример за такава решетка е пластмасов CD или DVD диск.
Решето уравнение
Като се има предвид дифракцията на Фраунхофер върху решетка, следният израз може да се запише за интензитета на светлината в дифракционния модел:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, където
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Параметър a е ширината на един слот, а параметър d е разстоянието между тях. Важна характеристика в израза за I(θ) е ъгълът θ. Това е ъгълът между централния перпендикуляр на равнината на решетката и конкретна точка в дифракционната картина. При експерименти се измерва с гониометър.
В представената формула изразът в скоби определя дифракцията от един процеп, а изразът в квадратни скоби е резултат от интерференция на вълната. Анализирайки го за условието на интерференционните максимуми, можем да стигнем до следната формула:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Ъгъл θ0 характеризира падащата вълна върху решетката. Ако фронтът на вълната е успореден на него, тогава θ0=0, а последният израз става:
sin(θm)=mλ/d.
Тази формула се нарича уравнение на дифракционната решетка. Стойността на m приема всякакви цели числа, включително отрицателни и нула, нарича се ред на дифракция.
Анализ на решетъчно уравнение
В предишния параграф разбрахмече позицията на главните максимуми се описва с уравнението:
sin(θm)=mλ/d.
Как може да се приложи на практика? Използва се главно, когато падащата върху дифракционна решетка светлина с период d се разлага на отделни цветове. Колкото по-дълга е дължината на вълната λ, толкова по-голямо ще бъде ъгловото разстояние до максимума, който й съответства. Измерването на съответния θm за всяка вълна ви позволява да изчислите нейната дължина и следователно да определите целия спектър на излъчващия обект. Сравнявайки този спектър с данните от известна база данни, можем да кажем кои химически елементи са го излъчили.
Горният процес се използва в спектрометрите.
Разделителна способност на мрежата
Под това се разбира такава разлика между две дължини на вълната, които се появяват в дифракционната картина като отделни линии. Факт е, че всяка линия има определена дебелина, когато две вълни с близки стойности на λ и λ + Δλ дифрагират, тогава линиите, съответстващи на тях на снимката, могат да се слеят в една. В последния случай се казва, че разделителната способност на решетката е по-малка от Δλ.
Пропускайки аргументите относно извеждането на формулата за разделителната способност на решетката, представяме нейния окончателен вид:
Δλ>λ/(mN).
Тази малка формула ни позволява да заключим: използвайки решетка, можете да разделите по-близките дължини на вълната (Δλ), колкото по-дълга е дължината на вълната на светлината λ, толкова по-голям е броят на ударите на единица дължина(константа на решетката N) и толкова по-висок е редът на дифракция. Нека се спрем на последното.
Ако погледнете дифракционната картина, тогава с увеличаване на m наистина има увеличение на разстоянието между съседните дължини на вълната. Въпреки това, за да се използват високи порядки на дифракция, е необходимо интензитетът на светлината върху тях да бъде достатъчен за измервания. На конвенционална дифракционна решетка той пада бързо с увеличаване на m. Следователно за тези цели се използват специални решетки, които са направени по такъв начин, че да преразпределят интензитета на светлината в полза на големи m. По правило това са отразяващи решетки, дифракционната картина на която се получава за големи θ0.
След това помислете за използването на решетъчното уравнение за решаване на няколко проблема.
Задачи за определяне на ъгли на дифракция, ред на дифракция и константа на решетката
Нека дадем примери за решаване на няколко проблема:
За определяне на периода на дифракционната решетка се провежда следният експеримент: взема се монохроматичен източник на светлина, чиято дължина на вълната е известна стойност. С помощта на лещи се образува паралелен вълнов фронт, тоест се създават условия за дифракция на Фраунхофер. Тогава този фронт се насочва към дифракционна решетка, чийто период е неизвестен. В получената картина ъглите за различни порядки се измерват с помощта на гониометър. След това формулата изчислява стойността на неизвестния период. Нека извършим това изчисление на конкретен пример
Нека дължината на вълната на светлината да бъде 500 nm и ъгълът за първи ред на дифракция да бъде 21o. Въз основа на тези данни е необходимо да се определи периода на дифракционната решетка d.
Използвайки решетъчното уравнение, изразете d и включете данните:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Тогава константата на решетката N е:
N=1/d ≈ 714 реда на 1 мм.
Светлината обикновено пада върху дифракционна решетка с период от 5 микрона. Знаейки, че дължината на вълната λ=600 nm, е необходимо да се намерят ъглите, при които ще се появят максимумите на първия и втория порядък
За първия максимум получаваме:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Вторият максимум ще се появи за ъгъла θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Монохроматичната светлина пада върху дифракционна решетка с период от 2 микрона. Дължината на вълната му е 550 nm. Необходимо е да се намери колко порядъка на дифракция ще се появят в получената картина на екрана
Този тип задача се решава по следния начин: първо трябва да определите зависимостта на ъгъла θm от реда на дифракция за условията на задачата. След това ще е необходимо да се вземе предвид, че функцията синус не може да приема стойности, по-големи от едно. Последният факт ще ни позволи да отговорим на този проблем. Нека направим описаните действия:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Това равенство показва, че когато m=4, изразът от дясната страна става равен на 1,1, а при m=3 ще бъде равно на 0,825. Това означава, че като използвате дифракционна решетка с период от 2 μm при дължина на вълната 550 nm, можете да получите максималния 3-ти ред на дифракция.
Проблемът с изчисляването на разделителната способност на решетката
Да приемем, че за експеримента те ще използват дифракционна решетка с период от 10 микрона. Необходимо е да се изчисли с каква минимална дължина на вълната могат да се различават вълните близо до λ=580 nm, така че да се появят като отделни максимуми на екрана.
Отговорът на този проблем е свързан с определянето на разделителната способност на разглежданата решетка за дадена дължина на вълната. И така, две вълни могат да се различават с Δλ>λ/(mN). Тъй като константата на решетката е обратно пропорционална на периода d, този израз може да се запише по следния начин:
Δλ>λd/m.
Сега за дължината на вълната λ=580 nm пишем решетъчното уравнение:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Откъдето получаваме, че максималният ред на m ще бъде 17. Замествайки това число във формулата за Δλ, имаме:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 или 0,00034 nm.
Получаваме много висока разделителна способност, когато периодът на дифракционната решетка е 10 микрона. На практика, като правило, това не се постига поради ниските интензитети на максимумите на високите дифракционни порядки.
