В математиката обратните функции са взаимно съответстващи изрази, които се превръщат един в друг. За да разберем какво означава това, си струва да разгледаме конкретен пример. Да кажем, че имаме y=cos(x). Ако вземем косинуса от аргумента, тогава можем да намерим стойността на y. Очевидно за това трябва да имате x. Но какво ще стане, ако играчът първоначално бъде даден? Тук се стига до същината на въпроса. За решаване на проблема е необходимо използването на обратна функция. В нашия случай това е дъга косинус.
След всички трансформации получаваме: x=arccos(y).
Тоест, за да намерите функция, обратна на дадена, е достатъчно само да изразите аргумент от нея. Но това работи само ако резултатът ще има една стойност (повече за това по-късно).
В общи линии този факт може да се запише по следния начин: f(x)=y, g(y)=x.
Определение
Нека f е функция, чиято област е множеството X, идиапазонът от стойности е множеството Y. Тогава, ако съществува g, чиито домейни изпълняват противоположни задачи, тогава f е обратимо.
Освен това в този случай g е уникален, което означава, че има точно една функция, която удовлетворява това свойство (ни повече, нито по-малко). Тогава тя се нарича обратна функция и писмено се обозначава по следния начин: g(x)=f -1(x).
С други думи, те могат да се разглеждат като двоична връзка. Обратимостта се осъществява само когато един елемент от множеството съответства на една стойност от друга.
Не винаги има обратна функция. За да направите това, всеки елемент y є Y трябва да съответства на най-много едно x є X. Тогава f се нарича едно към едно или инжекция. Ако f -1 принадлежи на Y, тогава всеки елемент от това множество трябва да съответства на някакъв x ∈ X. Функциите с това свойство се наричат сюръкции. Това е валидно по дефиниция, ако Y е изображение f, но това не винаги е така. За да бъде обратна, функцията трябва да бъде едновременно инжекция и сюръекция. Такива изрази се наричат биекции.
Пример: квадратни и коренни функции
Функцията е дефинирана на [0, ∞) и се дава по формулата f (x)=x2.
Тогава не е инжекционен, тъй като всеки възможен резултат Y (с изключение на 0) съответства на две различни X - едно положително и едно отрицателно, така че не е обратимо. В този случай ще бъде невъзможно да се получат първоначалните данни от получените, което противоречитеории. Ще бъде неинжекционно.
Ако областта на дефиниция е условно ограничена до неотрицателни стойности, тогава всичко ще работи както преди. Тогава той е биективен и следователно обратим. Обратната функция тук се нарича положителна.
Бележка при записа
Нека обозначението f -1 (x) може да обърка човек, но в никакъв случай не трябва да се използва така: (f (x)) - 1 . Отнася се до съвсем различна математическа концепция и няма нищо общо с обратната функция.
Като общо правило някои автори използват изрази като sin-1 (x).
Въпреки това, други математици смятат, че това може да причини объркване. За да се избегнат подобни трудности, обратните тригонометрични функции често се обозначават с префикса "дъга" (от латинската дъга). В нашия случай говорим за арксинуса. Можете също така понякога да видите префикса "ar" или "inv" за някои други функции.
