Когато се подготвят за изпита по математика, студентите трябва да систематизират знанията си по алгебра и геометрия. Бих искал да комбинирам цялата известна информация, например как да изчислим площта на пирамида. Освен това, като се започне от основата и страничните повърхности до цялата повърхност. Ако ситуацията е ясна със страничните лица, тъй като те са триъгълници, тогава основата винаги е различна.
Как да намеря площта на основата на пирамидата?
Може да бъде с абсолютно всякаква форма: от произволен триъгълник до n-ъгълник. И тази основа, в допълнение към разликата в броя на ъглите, може да бъде обикновена фигура или неправилна. В задачите на USE, които представляват интерес за учениците, има само задачи с правилните фигури в основата. Затова ще говорим само за тях.
Правилен триъгълник
Това е равностранно. Такъв, в който всички страни са равни и се означават с буквата "а". В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:
S=(a2√3) / 4.
Квадрат
Формулата за изчисляване на нейната площ е най-простата,тук "a" отново е страната:
S=a2.
Произволен правилен n-ъгъл
Страната на многоъгълника има същото обозначение. За броя на ъглите се използва латинската буква n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Как да изчислим страничната и общата повърхност?
Тъй като основата е правилна фигура, всички страни на пирамидата са равни. Освен това всеки от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да изчислите страничната площ на пирамидата, ви е необходима формула, състояща се от сумата от еднакви мономи. Броят на термините се определя от броя на страните на основата.
Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от произведението на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича апотема. Неговото обозначение е "А". Общата формула за страничната повърхност е:
S=½ PA, където P е периметърът на основата на пирамидата.
Има ситуации, когато страните на основата не са известни, но са дадени страничните ръбове (c) и плоският ъгъл при нейния връх (α). След това трябва да се използва тази формула за изчисляване на страничната площ на пирамидата:
S=n/2в2 sin α.
Проблем 1
Състояние. Намерете общата площ на пирамидата, ако основата й е равностранен триъгълник със страна 4 cm, а апотемът е √3 cm.
Решение. НеговитеТрябва да започнете с изчисляване на периметъра на основата. Тъй като това е правилен триъгълник, тогава P=34 \u003d 12 см. Тъй като апотемът е известен, можете веднага да изчислите площта на цялата странична повърхност: ½12√3=6 √3 cm 2.
За триъгълник в основата получавате следната стойност на площта: (42√3) / 4=4√3 cm2.
За да определите общата площ, трябва да добавите двете получени стойности: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Отговор. 10√3см2.
Проблем 2
Условие. Има правилна четириъгълна пирамида. Дължината на страната на основата е 7 мм, страничният ръб е 16 мм. Трябва да знаете неговата повърхност.
Решение. Тъй като полиедърът е четириъгълен и правилен, то основата му е квадрат. След като научите площите на основата и страничните повърхности, ще бъде възможно да се изчисли площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. А при страничните лица всички страни на триъгълника са известни. Следователно можете да използвате формулата на Херон, за да изчислите техните площи.
Първите изчисления са прости и водят до това число: 49 mm2. За втората стойност ще трябва да изчислите полупериметъра: (7 + 162): 2=19,5 мм. Сега можете да изчислите площта на равнобедрен триъгълник: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 mm 2. Има само четири такива триъгълника, така че когато изчислявате окончателното число, ще трябва да го умножите по 4.
Оказва се: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Отговор. Желана стойност 267, 576mm2.
Проблем 3
Условие. За правилна четириъгълна пирамида трябва да изчислите площта. Знае страната на квадрата - 6 см и височината - 4 см.
Решение. Най-лесният начин е да използвате формулата с произведението на периметъра и апотема. Първата стойност е лесна за намиране. Второто е малко по-трудно.
Ще трябва да си спомним теоремата на Питагор и да разгледаме правоъгълен триъгълник. Образува се от височината на пирамидата и апотема, който е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на полиедъра пада в средата му.
Желаната апотема (хипотенузата на правоъгълен триъгълник) е √(32 + 42)=5 (см).
Сега можете да изчислите необходимата стойност: ½(46)5+62=96 (вижте2).
Отговор. 96 см2.
Проблем 4
Състояние. Дадена е правилна шестоъгълна пирамида. Страните на основата му са 22 мм, страничните ребра са 61 мм. Каква е страничната повърхност на този полиедър?
Решение. Разсъжденията в него са същите като описаните в проблем No2. Само там беше дадена пирамида с квадрат в основата и сега е шестоъгълник.
На първо място, площта на основата се изчислява по горната формула: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Сега трябва да откриете полупериметъра на равнобедрен триъгълник, който е страничната страна. (22 + 612): 2 \u003d 72 см. Остава да се изчисли площта на всеки такъвтриъгълник и след това го умножете по шест и го добавете към този, който се оказа за основата.
Изчисляване по формулата на Херон: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Изчисления, които ще дадат странична повърхност: 6606=3960 cm2. Остава да ги съберете, за да разберете цялата повърхност: 5217, 47≈5217 cm2.
Отговор. Основа - 726√3cm2, странична повърхност - 3960cm2, обща площ - 5217cm2.
