Важен геометричен обект, който се изучава в плоско пространство, е права линия. В триизмерното пространство освен правата линия има и равнина. И двата обекта се дефинират удобно с помощта на вектори на посоката. Какво е това, как се използват тези вектори за определяне на уравненията на права линия и равнина? Тези и други въпроси са разгледани в статията.
Директна линия и как да я дефинирате
Всеки ученик има добра представа за какъв геометричен обект говори. От гледна точка на математиката правата линия е съвкупност от точки, които при произволното си свързване по двойки водят до набор от паралелни вектори. Тази дефиниция на линия се използва за написване на уравнение за нея в две и три измерения.
За описване на разглеждания едномерен обект се използват различни видове уравнения, които са изброени в списъка по-долу:
- общ изглед;
- параметричен;
- вектор;
- каноничен или симетричен;
- в сегменти.
Всеки от тези видове има някои предимства пред останалите. Например, уравнение в сегменти е удобно за използване при изучаване на поведението на права линия спрямо координатните оси, общото уравнение е удобно при намиране на посока, перпендикулярна на дадена права линия, както и при изчисляване на ъгъла на нейната пресичане с оста x (за плосък корпус).
Тъй като темата на тази статия е свързана с насочващия вектор на права линия, по-нататък ще разгледаме само уравнението, където този вектор е основен и се съдържа изрично, тоест векторен израз..
Указване на права линия през вектор
Да предположим, че имаме някакъв вектор v¯ с известни координати (a; b; c). Тъй като има три координати, векторът е даден в пространството. Как да го изобразим в правоъгълна координатна система? Това се прави много просто: на всяка от трите оси се начертава сегмент, чиято дължина е равна на съответната координата на вектора. Точката на пресичане на трите перпендикуляра, възстановени към равнините xy, yz и xz, ще бъде краят на вектора. Неговото начало е точката (0; 0; 0).
Въпреки това, дадената позиция на вектора не е единствената. По подобен начин може да се начертае v¯, като се постави началото му в произволна точка от пространството. Тези аргументи казват, че е невъзможно да се зададе конкретна линия с помощта на вектор. Той дефинира семейство от безкраен брой успоредни линии.
Сегафиксирайте някаква точка P(x0; y0; z0) пространство. И ние задаваме условието: права линия трябва да минава през P. В този случай векторът v¯ също трябва да съдържа тази точка. Последният факт означава, че една единствена линия може да бъде дефинирана с помощта на P и v¯. Ще бъде записано като следното уравнение:
Q=P + λ × v¯
Тук Q е всяка точка, принадлежаща на правата. Тази точка може да бъде получена чрез избор на подходящия параметър λ. Написаното уравнение се нарича векторно уравнение, а v¯ се нарича вектор на посоката на правата линия. Като го подредим така, че да минава през P и променим дължината му с параметъра λ, получаваме всяка точка от Q като права линия.
В координатна форма уравнението ще бъде записано, както следва:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
И в изрична (параметрична) форма можете да напишете:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Ако изключим третата координата в горните изрази, тогава получаваме векторните уравнения на правата линия в равнината.
За какви задачи е полезно да знаете вектора на посоката ?
По правило това са задачи за определяне на успоредността и перпендикулярността на правите. Също така, директният вектор, който определя посоката, се използва при изчисляване на разстоянието между прави линии и точка и права линия, за да се опише поведението на права линия спрямо равнина.
Двелиниите ще бъдат успоредни, ако техните вектори на посоката са. Съответно, перпендикулярността на правите се доказва с помощта на перпендикулярността на техните вектори. При този тип задачи е достатъчно да се изчисли скаларното произведение на разглежданите вектори, за да се получи отговорът.
В случай на задачи за изчисляване на разстоянията между линиите и точките, векторът на посоката се включва изрично в съответната формула. Нека го запишем:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Тук P1P2¯ - изграден върху точки P1 и P 2 насочен сегмент. Точката P2 е произволна, лежаща на правата с вектора v¯, докато точката P1 е тази, до която разстоянието трябва Бъди решителен. Тя може да бъде независима или да принадлежи на друга линия или равнина.
Забележете, че има смисъл да се изчислява разстоянието между линиите само когато те са успоредни или пресичащи се. Ако се пресичат, тогава d е нула.
Горената формула за d е валидна и за изчисляване на разстоянието между равнина и права, успоредна на нея, само че в този случай P1 трябва да принадлежи на равнината.
Нека решим няколко проблема, за да покажем по-добре как да използваме разглеждания вектор.
Проблем с векторни уравнения
Известно е, че правата линия се описва със следното уравнение:
y=3 × x - 4
Трябва да напишете съответния изразвекторна форма.
Това е типично уравнение на права линия, познато на всеки ученик, написано в общ вид. Нека покажем как да го пренапишем във векторна форма.
Изразът може да бъде представен като:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Вижда се, че ако го отворите, получавате оригиналното равенство. Сега разделяме дясната му страна на два вектора, така че само един от тях да съдържа x, имаме:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Остава да извадите x от скоби, да го обозначите с гръцки символ и да размените векторите от дясната страна:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Получихме векторната форма на оригиналния израз. Координатите на вектора на посоката на правата линия са (1; 3).
Задачата за определяне на относителното положение на линиите
Два реда са дадени в интервал:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Успоредни ли са, пресичащи се или пресичащи се?
Ненулеви вектори (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) ще бъдат водачи за тези линии. Нека изразим тези уравнения в параметрична форма и да заместим координатите на първото във второто. Получаваме:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Заместете намерения параметър λ в двете уравнения по-горе, получаваме:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Параметър γ не може да приема две различни стойности едновременно. Това означава, че линиите нямат една обща точка, тоест се пресичат. Те не са успоредни, тъй като ненулевите вектори не са успоредни един на друг (за техния паралелизъм трябва да има число, което чрез умножение по един вектор ще доведе до координатите на втория).
Математическо описание на самолета
За да зададем равнина в пространството, ние даваме общо уравнение:
A × x + B × y + C × z + D=0
Тук латински главни букви представляват конкретни числа. Първите три от тях определят координатите на нормалния вектор на равнината. Ако е обозначено с n¯, тогава:
n¯=(A; B; C)
Този вектор е перпендикулярен на равнината, така че се нарича водач. Неговото знание, както и известните координати на всяка точка, принадлежаща на равнината, уникално определят последната.
Ако точката P(x1; y1; z1) принадлежи на равнината, тогава пресечната точка D се изчислява, както следва:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Нека решим няколко задачи, използвайки общото уравнение за равнината.
Задача занамиране на нормален вектор на равнината
Равнината се дефинира, както следва:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Как да намеря вектор за посока за нея?
От горната теория следва, че координатите на нормалния вектор n¯ са коефициентите пред променливите. В тази връзка, за да се намери n¯, уравнението трябва да бъде написано в общ вид. Имаме:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Тогава нормалният вектор на равнината е:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Проблемът за съставянето на уравнението на равнината
Дадени са координатите на три точки:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Как ще изглежда уравнението на равнината, съдържаща всички тези точки.
През три точки, които не принадлежат на една и съща права, може да се начертае само една равнина. За да намерим нейното уравнение, първо изчисляваме вектора на посоката на равнината n¯. За да направите това, ние действаме по следния начин: намираме произволни два вектора, принадлежащи на равнината, и изчисляваме техния векторен продукт. Това ще даде вектор, който ще бъде перпендикулярен на тази равнина, тоест n¯. Имаме:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Вземете точката M1, за да нарисуватеравнинни изрази. Получаваме:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Получихме общ израз за тип за равнина в пространството, като първо дефинираме вектор на посоката за нея.
Свойството на кръстосания продукт трябва да се помни, когато решавате проблеми с равнини, тъй като ви позволява да определите координатите на нормален вектор по прост начин.
