Самолет в космоса. Местоположение на самолетите в космоса

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Равнината е геометричен обект, чиито свойства се използват при конструиране на проекции на точки и линии, както и при изчисляване на разстояния и двугранни ъгли между елементи на триизмерни фигури. Нека разгледаме в тази статия какви уравнения могат да се използват за изследване на местоположението на равнините в пространството.

Определение на самолета

Всеки интуитивно си представя за какъв обект ще се говори. От геометрична гледна точка равнината е съвкупност от точки, всички вектори между които трябва да са перпендикулярни на някакъв вектор. Например, ако има m различни точки в пространството, тогава от тях могат да се направят m(m-1) / 2 различни вектора, свързващи точките по двойки. Ако всички вектори са перпендикулярни на някаква посока, тогава това е достатъчно условие, че всички точки m принадлежат на една и съща равнина.

Общо уравнение

В пространствената геометрия равнината се описва с помощта на уравнения, които обикновено съдържат три неизвестни координати, съответстващи на осите x, y и z. Да севземете общото уравнение в равнинни координати в пространството, да предположим, че има вектор n¯(A; B; C) и точка M(x₀; y₀; z_{0). Използвайки тези два обекта, равнината може да бъде уникално дефинирана.}

Наистина, да предположим, че има някаква втора точка P(x; y; z), чиито координати са неизвестни. Съгласно дефиницията, дадена по-горе, векторът MP¯ трябва да бъде перпендикулярен на n¯, тоест скаларното произведение за тях е равно на нула. Тогава можем да напишем следния израз:

(n¯MP¯)=0 или

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Отваряйки скобите и въвеждайки нов коефициент D, получаваме израза:

Ax + By + Cz + D=0, където D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Този израз се нарича общо уравнение за равнината. Важно е да запомните, че коефициентите пред x, y и z образуват координатите на вектора n¯(A; B; C), перпендикулярен на равнината. Той съвпада с нормалното и е ориентир за самолета. За да се определи общото уравнение, няма значение къде е насочен този вектор. Тоест равнините, изградени върху векторите n¯ и -n¯, ще бъдат еднакви.

Фигурата по-горе показва равнина, вектор, нормален към нея и права, перпендикулярна на равнината.

Сегменти, отрязани от равнината по осите и съответното уравнение

Общото уравнение позволява използването на прости математически операции за определяне, вв кои точки равнината ще пресича координатните оси. Важно е да знаете тази информация, за да имате представа за позицията в пространството на самолета, както и когато го изобразявате в чертежите.

За определяне на наименуваните пресечни точки се използва уравнение в сегменти. Нарича се така, защото съдържа изрично стойностите на дължините на сегментите, отрязани от равнината по координатните оси, при броене от точката (0; 0; 0). Нека вземем това уравнение.

Запишете общия израз за равнината, както следва:

Ax + By + Cz=-D

Лявата и дясната част могат да бъдат разделени на -D без да се нарушава равенството. Имаме:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 или

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Оформете знаменателите на всеки термин с нов символ, получаваме:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, тогава

x/p + y/q + z/r=1

Това е уравнението, споменато по-горе в сегменти. От него следва, че стойността на знаменателя на всеки член показва координатата на пресечната точка със съответната ос на равнината. Например, той пресича оста y в точката (0; q; 0). Това е лесно за разбиране, ако замените нулата x и z координатите в уравнението.

Забележете, че ако в уравнението няма променлива в сегментите, това означава, че равнината не пресича съответната ос. Например, като се има предвид изразът:

x/p + y/q=1

Това означава, че равнината ще отреже отсечките p и q по осите x и y, съответно, но ще бъде успоредна на оста z.

Заключение за поведението на самолета приотсъствието на някаква променлива в нейното уравнение е вярно и за израз от общ тип, както е показано на фигурата по-долу.

Векторно параметрично уравнение

Има трети вид уравнение, което позволява да се опише равнина в пространството. Нарича се параметричен вектор, защото се дава от два вектора, лежащи в равнината и два параметъра, които могат да приемат произволни независими стойности. Нека покажем как може да се получи това уравнение.

Да предположим, че има няколко известни вектора u ¯(a₁; b₁; c₁) и v¯(a₂; b₂; c₂). Ако не са успоредни, тогава те могат да се използват за задаване на конкретна равнина, като се фиксира началото на един от тези вектори в известна точка M(x₀; y₀; z_{0). Ако произволен вектор MP¯ може да бъде представен като комбинация от линейни вектори u¯ и v¯, тогава това означава, че точката P(x; y; z) принадлежи на същата равнина като u¯, v¯. По този начин можем да напишем равенството:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Или запишем това равенство по отношение на координати, получаваме:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Представеното равенство е параметрично векторно уравнение за равнината. ATвекторното пространство на равнината u¯ и v¯ се наричат генератори.

След това при решаването на задачата ще бъде показано как това уравнение може да се сведе до общ вид за равнина.

Ъгъл между равнините в пространството

Интуитивно равнините в 3D пространство могат или да се пресичат, или не. В първия случай е интересно да се намери ъгълът между тях. Изчисляването на този ъгъл е по-трудно от ъгъла между линиите, тъй като говорим за двугранен геометричен обект. На помощ обаче идва вече споменатият направляващ вектор за самолета.

Геометрично е установено, че двугранният ъгъл между две пресичащи се равнини е точно равен на ъгъла между техните водещи вектори. Нека означим тези вектори като n₁¯(a₁; b₁; c_{1) и n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2 _{). Косинусът на ъгъла между тях се определя от скаларното произведение. Тоест самият ъгъл в пространството между равнините може да се изчисли по формулата:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Тук модулът в знаменателя се използва за отхвърляне на стойността на тъпия ъгъл (между пресичащите се равнини той винаги е по-малък или равен на 90o).

В координатна форма този израз може да бъде пренаписан, както следва:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Равнини, перпендикулярни и успоредни

Ако равнините се пресичат и двугранният ъгъл, образуван от тях, е 90o, тогава те ще бъдат перпендикулярни. Пример за такива равнини е правоъгълна призма или куб. Тези фигури се образуват от шест равнини. Във всеки връх на посочените фигури има три равнини, перпендикулярни една на друга.

За да разберете дали разглежданите равнини са перпендикулярни, е достатъчно да се изчисли скаларното произведение на техните нормални вектори. Достатъчно условие за перпендикулярност в пространството на равнините е нулевата стойност на това произведение.

Успоредните се наричат непресечни равнини. Понякога се казва също, че успоредните равнини се пресичат в безкрайност. Условието за паралелизъм в пространството на равнините съвпада с това условие за векторите на посоката n₁¯ и n_{2¯. Можете да го проверите по два начина:}

Изчислете косинуса на диедричния ъгъл (cos(φ)), като използвате скаларното произведение. Ако равнините са успоредни, тогава стойността ще бъде 1.

Опитайте се да представите един вектор през друг, като умножите по някакво число, т.е. n₁¯=kn_{2¯. Ако това може да се направи, тогава съответните равнини сапаралелно.}

Фигурата показва две успоредни равнини.

Сега нека дадем примери за решаване на две интересни задачи с помощта на получените математически знания.

Как да получите обща форма от векторно уравнение?

Това е параметричен векторен израз за равнина. За да улесните разбирането на потока от операции и използваните математически трикове, разгледайте конкретен пример:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Разширете този израз и изразете неизвестните параметри:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

След това:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Отваряйки скобите в последния израз, получаваме:

z=2x-2 + 3y - 6 или

2x + 3y - z - 8=0

Получихме общата форма на уравнението за равнината, посочена в формулировката на проблема във векторна форма

Как да построим самолет през три точки?

Възможно е да се начертае една равнина през три точки, ако тези точки не принадлежат на една права линия. Алгоритъмът за решаване на този проблем се състои в следната последователност от действия:

намерете координатите на два вектора, като свържете познати точки по двойки;
изчислете тяхното кръстосано произведение и получете вектор, нормален на равнината;
запишете общото уравнение, като използвате намерения вектор инякоя от трите точки.

Нека вземем конкретен пример. Дадени точки: