Проблемът на Голдбах е един от най-старите и най-развитани проблеми в историята на цялата математика.
Доказано е, че това предположение е вярно за всички цели числа по-малки от 4 × 1018, но остава недоказано въпреки значителните усилия на математиците.
Номер
Числото на Голдбах е четно положително число, което е сбор от двойка нечетни прости числа. Друга форма на предположението на Голдбах е, че всички четни цели числа, по-големи от четири, са числа на Голдбах.
Разделянето на такива числа се нарича дял (или дял) на Голдбах. По-долу са дадени примери за подобни раздели за някои четни числа:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Откриване на хипотезата
Голдбах имаше колега на име Ойлер, който обичаше да брои, да пише сложни формули и да излага неразрешими теории. По това те бяха подобни на Голдбах. Ойлер прави подобна математическа гатанка още преди Голдбах, с когото тойпостоянна кореспонденция. След това той предложи второ предложение в полето на своя ръкопис, според което цяло число, по-голямо от 2, може да бъде записано като сбор от три прости числа. Той смяташе 1 за просто число.
Сега е известно, че двете хипотези са сходни, но това не изглеждаше проблем по това време. Съвременната версия на проблема на Голдбах гласи, че всяко цяло число, по-голямо от 5, може да бъде записано като сбор от три прости числа. Ойлер отговаря в писмо от 30 юни 1742 г. и напомня на Голдбах за един по-ранен разговор, който са провели („… значи говорим за първоначалната (а не маргинална) хипотеза, произтичаща от следното твърдение“).
проблем на Ойлер-Голдбах
2 и неговите четни числа могат да бъдат записани като сбор от две прости числа, което също е предположението на Голдбах. В писмо от 30 юни 1742 г. Ойлер заявява, че всяко четно цяло число е резултат от събирането на две прости числа, което той смята за добре дефинирана теорема, въпреки че не може да го докаже.
Трета версия
Третата версия на проблема на Голдбах (еквивалентна на другите две версии) е формата, в която предположението обикновено се дава днес. Известна е още като „силна“, „четна“или „двоична“гипотеза на Голдбах, за да се разграничи от по-слабата хипотеза, известна днес като „слаба“, „нечетна“или „троична“хипотеза на Голдбах. Слабата хипотеза гласи, че всички нечетни числа, по-големи от 7, са сбор от три нечетни прости числа. Слабата хипотеза беше доказана през 2013 г. Слабата хипотеза еследствие от силна хипотеза. Обратното следствие и силното предположение на Голдбах остават недоказани и до днес.
Проверка
За малки стойности на n проблемът на Голдбах (и следователно предположението на Голдбах) може да бъде проверен. Например, Нилс Пипинг през 1938 г. внимателно тества хипотезата до n ≦ 105. С появата на първите компютри бяха изчислени много повече стойности на n.
Oliveira Silva извърши разпределено компютърно търсене, което потвърди хипотезата за n ≦ 4 × 1018 (и провери двойно до 4 × 1017) от 2013 г. Един запис от това търсене е, че 3,325,581,707,333,960,528 е най-малкото число, което няма разделяне на Голдбах с просто число под 9781.
Евристика
Версията за силната форма на предположението на Голдбах е следната: тъй като количеството клони към безкрайност с увеличаване на n, ние очакваме, че всяко голямо четно цяло число има повече от едно представяне като сума от две прости числа. Но всъщност има много такива представителства. Кой реши проблема Голдбах? Уви, все още никой.
Този евристичен аргумент всъщност е малко неточен, тъй като предполага, че m е статистически независимо от n. Например, ако m е нечетно, тогава n - m също е нечетно, а ако m е четно, тогава n - m е четно и това е нетривиална (сложна) връзка, тъй като освен числото 2, само нечетно числата могат да бъдат прости. По същия начин, ако n се дели на 3 и m вече е било просто число, различно от 3, тогава n - m също е взаимнопросто с 3, така че е по-вероятно да бъде просто число, отколкото общо число. Извършвайки този тип анализ по-внимателно, Харди и Литълууд през 1923 г., като част от известната им проста хипотеза за кортежите на Харди-Литълуд, направиха горното усъвършенстване на цялата теория. Но досега не помогна за решаването на проблема.
Силна хипотеза
Силното предположение на Голдбах е много по-сложно от слабото предположение на Голдбах. По-късно Шнирелман доказа, че всяко естествено число, по-голямо от 1, може да бъде записано като сума от най-много C прости числа, където C е ефективно изчислима константа. Много математици се опитваха да го решат, като броят и умножават числата, предлагат сложни формули и т.н. Но така и не успяха, защото хипотезата е твърде сложна. Никакви формули не помогнаха.
Но си струва да се отдалечим от въпроса за доказване на проблема на Голдбах малко. Константата на Шнирелман е най-малкото C число с това свойство. Самият Шнирелман получи C <800 000. Този резултат впоследствие беше допълнен от много автори, като Оливие Рамарет, който показа през 1995 г., че всяко четно число n ≧ 4 всъщност е сбор от най-много шест прости числа. Най-известният резултат в момента, свързан с теорията на Голдбах от Харалд Хелфгот.
По-нататъшно развитие
През 1924 г. Харди и Литълууд приемат G. R. H. показа, че броят на четните числа до X, нарушаващи двоичния проблем на Голдбах, е много по-малък, отколкото за малки c.
През 1973 г. Чен ДжингюнОпитах се да разреша този проблем, но не се получи. Той също беше математик, така че много обичаше да решава гатанки и да доказва теореми.
През 1975 г. двама американски математици показаха, че има положителни константи c и C - тези, за които N е достатъчно голямо. По-специално, множеството от четни цели числа има нулева плътност. Всичко това беше полезно за работа по решаването на троичния проблем Голдбах, което ще се случи в бъдеще.
През 1951 г. Линик доказа съществуването на константа K, така че всяко достатъчно голямо четно число е резултат от добавянето на едно просто число и друго просто число едно към друго. Роджър Хийт-Браун и Ян-Кристоф Шлаге-Пухта откриха през 2002 г., че K=13 работи. Това е много интересно за всички хора, които обичат да добавят един към друг, да събират различни числа и да видят какво се случва.
Решение на проблема Голдбах
Както при много добре познати предположения в математиката, има редица предполагаеми доказателства за предположението на Голдбах, нито едно от които не е прието от математическата общност.
Въпреки че предположението на Голдбах предполага, че всяко положително цяло число, по-голямо от едно, може да бъде записано като сума от най-много три прости числа, не винаги е възможно да се намери такава сума с помощта на алчен алгоритъм, който използва възможно най-голямото просто число на всяка стъпка. Последователността Pillai следи числата, изискващи най-много прости числа в техните алчни представяния. Следователно решението на проблема Голдбахвсе още под въпрос. Въпреки това, рано или късно най-вероятно ще бъде решен.
Има теории, подобни на проблема на Голдбах, при които простите числа се заменят с други специфични набори от числа, като квадрати.
Кристиан Голдбах
Кристиан Голдбах беше немски математик, който също учи право. Той е запомнен днес с предположението на Голдбах.
Той цял живот работи като математик - много обичаше да събира числа, да измисля нови формули. Знаеше и няколко езика, на всеки от които водеше личния си дневник. Тези езици бяха немски, френски, италиански и руски. Освен това, според някои източници, той говорел английски и латински. Той беше известен като доста известен математик приживе. Голдбах също беше доста тясно свързан с Русия, тъй като имаше много руски колеги и лично благоволение на кралското семейство.
Продължава да работи в новооткритата Петербургска академия на науките през 1725 г. като професор по математика и историк на академията. През 1728 г., когато Петър II става цар на Русия, Голдбах става негов наставник. През 1742 г. постъпва в руското външно министерство. Тоест, той всъщност е работил у нас. По това време в Русия идват много учени, писатели, философи и военни, защото Русия по това време е страна с възможности като Америка. Много са направили кариера тук. И нашият герой не е изключение.
Кристиан Голдбах беше многоезичен - пишеше дневник на немски и латински, неговите писмаса написани на немски, латински, френски и италиански, а за официални документи той използва руски, немски и латински.
Умира на 20 ноември 1764 г. на 74-годишна възраст в Москва. Денят, в който проблемът на Голдбах бъде решен, ще бъде подходяща почит към паметта му.
Заключение
Голдбах беше велик математик, който ни даде една от най-големите мистерии на тази наука. Не се знае дали някога ще бъде решен или не. Знаем само, че предполагаемото му разрешаване, както в случая с теоремата на Ферма, ще отвори нови перспективи за математиката. Математиците много обичат да го решават и анализират. Много е интересно и любопитно от евристична гледна точка. Дори учениците по математика обичат да решават проблема на Голдбах. Как иначе? В крайна сметка младите хора постоянно са привлечени от всичко светло, амбициозно и нерешено, защото чрез преодоляване на трудностите човек може да се утвърди. Да се надяваме, че скоро този проблем ще бъде решен от млади, амбициозни, любознателни умове.
