След като прочете материала, читателят ще разбере, че планиметрията изобщо не е трудна. Статията предоставя най-важната теоретична информация и формули, необходими за решаване на конкретни проблеми. Важни твърдения и свойства на фигурите са поставени на рафтовете.
Определение и важни факти
Планиметрията е клон на геометрията, който разглежда обекти върху плоска двуизмерна повърхност. Могат да бъдат идентифицирани някои подходящи примери: квадрат, кръг, ромб.
Наред с други неща, си струва да подчертаете точка и линия. Те са двете основни концепции на планиметрията.
Всичко останало вече е изградено върху тях, например:
- А сегмент е част от права линия, ограничена от две точки.
- Лъчът е обект, подобен на сегмент, но има граница само от едната страна.
- Ъгъл, който се състои от два лъча, излизащи от една и съща точка.
Аксиоми и теореми
Нека разгледаме по-отблизо аксиомите. В планиметрията това са най-важните правила, по които работи цялата наука. Да, и не само в него. отпо дефиниция това са твърдения, които не изискват доказателство.
Аксиомите, които ще бъдат обсъдени по-долу, са част от така наречената евклидова геометрия.
- Има две точки. През тях винаги може да се прокара една линия.
- Ако линия съществува, тогава има точки, които лежат върху нея и точки, които не лежат върху нея.
Тези 2 твърдения се наричат аксиоми на членството, а следните са от порядък:
- Ако има три точки на права линия, тогава една от тях трябва да е между другите две.
- Равнината е разделена от всяка права линия на две части. Когато краищата на сегмента лежат върху едната половина, тогава целият обект му принадлежи. В противен случай оригиналната линия и сегмент имат пресечна точка.
Аксиоми на мерките:
- Всеки сегмент има дължина, различна от нула. Ако точката я раздели на няколко части, тогава тяхната сума ще бъде равна на цялата дължина на обекта.
- Всеки ъгъл има определена градусова мярка, която не е равна на нула. Ако го разделите с лъч, тогава началният ъгъл ще бъде равен на сбора от образуваните.
Успоредно:
В самолета има права линия. През всяка точка, която не й принадлежи, може да се проведе само една права линия, успоредна на дадената
Теоремите в планиметрията вече не са съвсем фундаментални твърдения. Обикновено те се приемат за факт, но всеки от тях има доказателство, изградено върху основните понятия, споменати по-горе. Освен това има много от тях. Ще бъде доста трудно да разглобите всичко, но представеният материал ще съдържа някоиот тях.
Следните две си струва да напуснете рано:
- Сборът от съседни ъгли е 180 градуса.
- Вертикалните ъгли имат една и съща стойност.
Тези две теореми могат да бъдат полезни при решаване на геометрични задачи, свързани с n-ъгълници. Те са доста прости и интуитивни. Струва си да ги помним.
Триъгълници
Триъгълник е геометрична фигура, състояща се от три последователно свързани сегмента. Те се класифицират по няколко критерия.
Отстрани (съотношенията излизат от имената):
- равностранно.
- Равнобедрен - двете страни и противоположните ъгли са съответно равни.
- Универсален.
В ъглите:
- остър ъгъл;
- правоъгълна;
- тъп.
Два ъгъла винаги ще бъдат остри, независимо от ситуацията, а третият се определя от първата част на думата. Тоест, правоъгълният триъгълник има един от ъглите, равен на 90 градуса.
Свойства:
- Колкото по-голям е ъгълът, толкова по-голяма е противоположната страна.
- Сборът от всички ъгли е 180 градуса.
- Площта може да се изчисли по формулата: S=½ ⋅ h ⋅ a, където a е страната, h е височината, изтеглена към нея.
- Винаги можете да впишете кръг в триъгълник или да го опишете около него.
Една от основните формули на планиметрията е Питагоровата теорема. Работи изключително за правоъгълен триъгълник и звучи така: квадратхипотенузата е равна на сумата от квадратите на катетите: AB2 =AC2 + BC2.
Хипотенузата е страната, противоположна на ъгъла от 90°, а краката са съседната страна.
Четириъгълници
Има много информация по този въпрос. По-долу са само най-важните.
Някои разновидности:
- Успоредник - противоположните страни са равни и успоредни по двойки.
- Ромбът е паралелограм, чиито страни са с еднаква дължина.
- Правоъгълник - паралелограм с четири прави ъгъла
- Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник.
- Трапец - само две противоположни страни са успоредни.
Свойства:
- Сборът от вътрешните ъгли е 360 градуса.
- Площта винаги може да се изчисли по формулата: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), където p е половината от периметъра, a, b, c, d са страните на фигура.
- Ако кръгът може да бъде описан около четириъгълник, тогава го наричам изпъкнал, ако не - не-изпъкнал.
