Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните експоненти винаги се сумират (abac=ab+ c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с целочислени показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритмите. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където е необходимо да се опрости тромавото умножение до просто събиране. Ако отделите 10 минути, четейки тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. Прост и достъпен език.
Определение по математика
Логаритъмът е израз на следната форма: logab=c c", в който трябва да вдигнете основата "a", за да получите най-накрая стойността " б". Нека анализираме логаритъма с помощта на примери, да кажем, че има израз log28. Как да намеря отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направихме някои изчисления в ума си, получаваме числото 3! И е вярно, защото2, увеличено на степен 3, дава отговора 8.
Разновидности на логаритмите
За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни вида логаритмични изрази:
- Естествен логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e=2, 7).
- Десетичен логаритъм lg a, където основата е числото 10.
- Логаритъм на произволно число b към основа a>1.
Всяко от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последващо свеждане до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и реда на действията при решаването им.
Правила и някои ограничения
В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на договаряне и са верни. Например, не е възможно да се разделят числата на нула, а също така е невъзможно да се вземе четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да научите как да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:
- основата на "a" винаги трябва да е по-голяма от нула и в същото време да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби смисъла си, тъй като "1" и "0" до всяка степен са винаги равни на техните стойности;
- ако > 0, тогава b>0,оказва се, че "c" също трябва да е по-голямо от нула.
Как да решавам логаритми?
Например, като се има предвид задачата да се намери отговора на уравнението 10x=100. Много е лесно, трябва да изберете такава степен, вдигайки числото десет, ние вземете 100. Това, разбира се, Е, квадратична степен! 102=100.
Сега нека представим този израз като логаритмичен. Получаваме log10100=2. При решаване на логаритми всички действия на практика се сближават с намирането на степента, в която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.
За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблицата на степените. Изглежда така:
Както можете да видите, някои експоненти могат да бъдат отгатнати интуитивно, ако имате технически начин на мислене и познания за таблицата за умножение. Въпреки това, по-големи стойности ще изискват таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (база а), горният ред числа е стойността на степента c, до която се повдига числото a. На пресечната точка клетките дефинират стойностите на числата, които са отговорът (ac=b). Нека вземем например първата клетка с числото 10 и я квадратираме, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че дори и най-истинският хуманист ще разбере!
Уравнения и неравенства
Оказва се, че когатоПри определени условия експонентът е логаритъмът. Следователно всякакви математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично уравнение. Например, 34=81 може да бъде записано като логаритъм от 81 към основа 3, което е четири (log381=4). За отрицателните градуси правилата са същите: 2-5=1/32, записани като логаритъм, получаваме log2 (1/32)=-5. Един от най-увлекателните раздели на математиката е темата за "логаритмите". Ще разгледаме примери и решения на уравнения малко по-ниско, веднага след изучаване на техните свойства. Засега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги разграничим от уравненията.
Даден е следният израз: log2(x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъм. Изразът също така сравнява две стойности: логаритъмът с две основи на желаното число е по-голям от числото три.
Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (пример - логаритъм2x=√9) предполагат в отговора една или повече конкретни числови стойности, докато при решаване на неравенство се определят както диапазонът от приемливи стойности, така и точките на прекъсване на тази функция. В резултат на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серия или набор от числа.
Основни теореми за логаритмите
Когато решавате примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, може да не знаете неговите свойства. Но когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. Ще се запознаем с примерите за уравнения по-късно, нека първо анализираме всяко свойство по-подробно.
- Основната идентичност изглежда така: alogaB=B. Прилага се само ако a е по-голямо от 0, не е равно на единица и B е по-голямо от нула.
- Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: logd(s1s2)=logds1 + logds2. В този случай задължителното условие е: d, s1 и s2 > 0; а≠1. Можете да дадете доказателство за тази формула от логаритми, с примери и решение. Нека logas1 =f1 и logas 2=f2, след това af1=s1, a f2=s2. Получаваме това s1s2 =af1a f2=af1+f2 (свойства на степен), и още по дефиниция: loga(s1 s2)=f1+ f2=log as1 + logas2, което трябваше да се докаже.
- Логаритъмът на частното изглежда така: loga(s1/s2)=log a1- loga2.2.
- Теоремата под формата на формула приема следната форма: logaqbn =n/q logab.
Тази формула се нарича "свойството на степента на логаритъма". Наподобява свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на редовни постулати. Нека разгледаме доказателството.
Нека logab=t, получаваме at=b. Ако повдигнете двете страни до m сила: atn=b;
но защото atn=(aq)nt/q=b , следователно logaq bn=(nt)/t, след това logaq bn=n/q logab. Теоремата доказана.
Примери за проблеми и неравенства
Най-често срещаните типове логаритмни задачи са примери за уравнения и неравенства. Те се намират в почти всички задачници, а също така са включени в задължителната част от изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни изпити по математика, трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.
За съжаление няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или сведен до обща форма. Можете да опростите дългите логаритмични изрази, ако използвате правилно техните свойства. Нека да ги опознаем скоро.
При решаване на логаритмични уравнения,необходимо е да определим какъв вид логаритъм имаме пред нас: пример за израз може да съдържа естествен логаритъм или десетичен.
Ето примери за десетични логаритми: ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че трябва да определите степента, до която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека разгледаме примери за решаване на логаритмични задачи от различни типове.
Как да използвам логаритмни формули: с примери и решения
И така, нека разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.
- Свойството на логаритъма на произведението може да се използва в задачи, при които е необходимо да се разложи голяма стойност на числото b на по-прости фактори. Например log24 + log2128=log2(4128)=log2512. Отговорът е 9.
- log48=log22 23 =3/2 log22=1, 5 - както можете да видите, прилагайки четвъртото свойство на степента на логаритъма, успяхме да решим на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Всичко, което трябва да направите, е да множите основата и след това да извадите силата от знака на логаритъма.
Задачи от изпита
Логаритмите често се срещат на приемните изпити, особено много логаритмични проблеми в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-многолесна тестова част от изпита), но и част C (най-трудните и обемни задачи). Изпитът изисква точно и перфектно познаване на темата "Естествени логаритми".
Примери и решения на проблемите са взети от официалните версии на изпита. Да видим как се решават подобни задачи.
Даден log2(2x-1)=4. Решение:
пренапишете израза, като го опростите малко log2(2x-1)=22, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1=24, следователно 2x=17; x=8, 5.
Следвайки няколко насоки, следвайки които можете лесно да решите всички уравнения, съдържащи изрази, които са под знака на логаритъма.
- Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
- Всички изрази под знака на логаритъма са посочени като положителни, така че при умножаване на степента на израза, който е под знака на логаритъма и като негова основа, изразът, оставащ под логаритъма, трябва да е положителен.
