Матрици и детерминанти са открити през осемнадесети и деветнадесети век. Първоначално тяхното развитие засяга трансформирането на геометрични обекти и решаването на системи от линейни уравнения. В исторически план ранният акцент беше върху детерминанта. В съвременните методи за обработка на линейна алгебра матриците се разглеждат на първо място. Струва си да обмислите този въпрос за известно време.
Отговори от тази област на знанието
Матриците предоставят теоретично и практически полезен начин за решаване на много проблеми, като:
- системи от линейни уравнения;
- равновесие на твърдите тела (по физика);
- теория на графиките;
- Икономически модел на Леонтиев;
- горско стопанство;
- компютърна графика и томография;
- генетика;
- криптография;
- електрически мрежи;
- фрактал.
Всъщност, матричната алгебра за "манекени" има опростена дефиниция. Изразява се по следния начин: това е научна област на знанието, в коятовъпросните ценности са проучени, анализирани и напълно изследвани. В този раздел на алгебрата се изучават различни операции върху изучаваните матрици.
Как се работи с матрици
Тези стойности се считат за равни, ако имат еднакви размери и всеки елемент от единия е равен на съответния елемент от другия. Възможно е да се умножи матрица по всяка константа. Това дадено се нарича скаларно умножение. Пример: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Матрици с еднакъв размер могат да се добавят и изваждат чрез входове, а стойностите на съвместими размери могат да се умножават. Пример: добавете две A и B: A=[21−10]B=[1423]. Това е възможно, защото A и B са матрици с два реда и еднакъв брой колони. Необходимо е да добавите всеки елемент от A към съответния елемент в B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Матриците се изваждат по същия начин в алгебрата.
Матричното умножение работи малко по-различно. Освен това може да има много случаи и опции, както и решения. Ако умножим матрицата Apq и Bmn, тогава продуктът Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Записът в g-тия ред и h-тата колона на AB е сумата от произведението на съответните записи в g A и h B. Възможно е да се умножат две матрици само ако броят на колоните в първата и редовете във втората са равни. Пример: изпълни условието за разглежданите A и B: A=[1−130]B=[2−11214]. Това е възможно, защото първата матрица съдържа 2 колони, а втората съдържа 2 реда. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Основна информация за матриците
Въпросните стойности организират информация като променливи и константи и ги съхраняват в редове и колони, обикновено наричани C. Всяка позиция в матрицата се нарича елемент. Пример: C=[1234]. Състои се от два реда и две колони. Елемент 4 е в ред 2 и колона 2. Обикновено можете да наименувате матрица според нейните размери, тази с име Cmk има m реда и k колони.
Разширени матрици
Съображенията са невероятно полезни неща, които се появяват в много различни области на приложение. Първоначално матриците са били базирани на системи от линейни уравнения. Като се има предвид следната структура на неравенствата, трябва да се вземе предвид следната допълнена матрица:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Запишете коефициентите и стойностите на отговорите, включително всички знаци минус. Ако елементът е с отрицателно число, тогава той ще бъде равен на "1". Тоест, като се има предвид система от (линейни) уравнения, е възможно да се свърже матрица (решетка от числа в скоби) с нея. Това е този, който съдържа само коефициентите на линейната система. Това се нарича "разширена матрица". Решетката, съдържаща коефициентите от лявата страна на всяко уравнение, е "подплатена" с отговорите от дясната страна на всяко уравнение.
Записи, т.еB стойностите на матрицата съответстват на x-, y- и z стойностите в оригиналната система. Ако е правилно подреден, първо го проверете. Понякога трябва да пренаредите термините или да вмъкнете нули като заместители в матрицата, която се изучава или изучава.
Като се има предвид следната система от уравнения, можем незабавно да напишем свързаната увеличена матрица:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Първо, не забравяйте да пренаредите системата като:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
След това е възможно да се напише свързаната матрица като: [11000113-1012]. Когато формирате разширен, си струва да използвате нула за всеки запис, където съответното място в системата от линейни уравнения е празно.
Матрична алгебра: Свойства на операциите
Ако е необходимо да се формират елементи само от стойности на коефициенти, тогава разглежданата стойност ще изглежда така: [110011-101]. Това се нарича "коефициентна матрица".
Като се вземе предвид следната разширена матрична алгебра, е необходимо да се подобри и да се добави свързаната линейна система. Като се има предвид това, важно е да запомните, че те изискват променливите да бъдат добре подредени и спретнати. И обикновено, когато има три променливи, използвайте x, y и z в този ред. Следователно, свързаната линейна система трябва да бъде:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Размер на матрицата
Въпросните артикули често се споменават чрез тяхното изпълнение. Размерът на матрица в алгебрата е даден катоизмервания, тъй като стаята може да се нарече различно. Измерените мерки за стойности са редове и колони, а не ширина и дължина. Например, матрица A:
[1234]
[2345]
[3456].
Тъй като A има три реда и четири колони, размерът на A е 3 × 4.
→
↓
Линиците вървят настрани. Колоните вървят нагоре и надолу. "Ред" и "колона" са спецификации и не са взаимозаменяеми. Размерите на матрицата винаги се определят с броя на редовете и след това с броя на колоните. Следвайки тази конвенция, следното B:
[123]
[234] е 2 × 3. Ако една матрица има същия брой редове като колоните, тогава тя се нарича "квадрат". Например, стойности на коефициентите отгоре:
[110]
[011]
[-101] е квадратна матрица 3×3.
Матрична нотация и форматиране
Бележка за форматиране: Например, когато трябва да напишете матрица, е важно да използвате скоби . Лентите за абсолютна стойност || не се използват, защото имат различна посока в този контекст. Скоби или фигурни скоби {} никога не се използват. Или някакъв друг символ за групиране, или изобщо никакъв, тъй като тези презентации нямат никакво значение. В алгебрата матрицата винаги е в квадратни скоби. Трябва да се използва само правилна нотация, в противен случай отговорите могат да се считат за изкривени.
Както споменахме по-рано, стойностите, съдържащи се в матрица, се наричат записи. По някаква причина въпросните елементи обикновено са написаниглавни букви, като A или B, и вписванията са посочени с помощта на съответните малки букви, но с индекси. В матрица A стойностите обикновено се наричат "ai, j", където i е редът на A, а j е колоната на A. Например, a3, 2=8. Записът за a1, 3 е 3.
За по-малки матрици, тези с по-малко от десет реда и колони, индексът запетая понякога се пропуска. Например, "a1, 3=3" може да бъде записано като "a13=3". Очевидно това няма да работи за големи матрици, тъй като a213 ще бъде неясен.
Видове матрици
Понякога класифицирани според конфигурацията на записите им. Например, такава матрица, която има всички нулеви записи под диагонала горе-вляво-долу-дясно "диагонал" се нарича горен триъгълен. Освен всичко друго може да има и други видове и видове, но те не са много полезни. Като цяло, най-вече се възприема като горен триъгълник. Стойности с ненулеви експоненти само хоризонтално се наричат диагонални стойности. Подобни типове имат ненулеви записи, в които всички са 1, такива отговори се наричат идентични (по причини, които ще станат ясни, когато се научи и разбере как се умножават въпросните стойности). Има много подобни показатели за изследване. Идентичността 3 × 3 се обозначава с I3. По същия начин, идентичността 4 × 4 е I4.
Матрична алгебра и линейни пространства
Забележете, че триъгълните матрици са квадратни. Но диагоналите са триъгълни. С оглед на това те саквадрат. И идентичностите се считат за диагонали и следователно за триъгълни и квадратни. Когато се изисква да се опише матрица, човек обикновено просто посочва собствената си най-специфична класификация, тъй като това предполага всички останали. Класифицирайте следните опции за изследване:като 3 × 4. В този случай те не са квадратни. Следователно стойностите не могат да бъдат други. Следната класификация:е възможна като 3 × 3. Но се счита за квадрат и в него няма нищо особено. Класификация на следните данни:като 3 × 3 горен триъгълник, но не е диагонал. Вярно е, че в разглежданите стойности може да има допълнителни нули върху или над разположеното и посочено пространство. Изследваната класификация е по-нататък: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], където тя е представена като диагонал и освен това всички записи са 1. Тогава това е 3 × 3 идентичност, I3.
Тъй като аналогичните матрици по дефиниция са квадратни, трябва да използвате само един индекс, за да намерите техните размери. За да бъдат еднакви две матрици, те трябва да имат един и същ параметър и да имат едни и същи записи на едни и същи места. Например, да предположим, че има два разглеждани елемента: A=[1 3 0] [-2 0 0] и B=[1 3] [-2 0]. Тези стойности не могат да бъдат еднакви, тъй като са различни по размер.
Дори ако A и B са: A=[3 6] [2 5] [1 4] и B=[1 2 3] [4 5 6] - те все още не са еднакви същото нещо. А и Б имат всекишест записа и също имат едни и същи числа, но това не е достатъчно за матрици. A е 3 × 2. И B е матрица 2 × 3. A за 3 × 2 не е 2 × 3. Няма значение дали A и B имат същото количество данни или дори същите числа като записите. Ако A и B не са с еднакъв размер и форма, но имат идентични стойности на подобни места, те не са равни.
Подобни операции в разглежданата зона
Това свойство на матричното равенство може да се превърне в задачи за независимо изследване. Например са дадени две матрици и е посочено, че са равни. В този случай ще трябва да използвате това равенство, за да проучите и получите отговори за стойностите на променливите.
Примерите и решенията на матрици в алгебрата могат да бъдат разнообразни, особено когато става въпрос за равенства. Като се има предвид, че се разглеждат следните матрици, е необходимо да се намерят стойностите на x и y. За да са равни, те трябва да са с еднакъв размер и форма. Всъщност те са такива, защото всяка от тях е 2 × 2 матрици. И те трябва да имат еднакви стойности на едни и същи места. Тогава a1, 1 трябва да е равно на b1, 1, a1, 2 трябва да е равно на b1, 2 и т.н. тях). Но a1, 1=1 очевидно не е равно на b1, 1=x. За да бъде A идентичен с B, записът трябва да има a1, 1=b1, 1, така че може да бъде 1=x. По същия начин индексите a2, 2=b2, 2, така че 4=y. Тогава решението е: x=1, y=4. Като се има предвид следнотоматриците са равни, трябва да намерите стойностите на x, y и z. За да има A=B, коефициентите трябва да имат равни записи. Тоест a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 и така нататък. По-специално, трябва:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Както можете да видите от избраните матрици: с 1, 1-, 2, 2- и 3, 1-елемента. Решавайки тези три уравнения, получаваме отговора: x=4, y=-6 и z=9. Матричната алгебра и матричните операции са различни от това, с което всички са свикнали, но не са възпроизводими.
Допълнителна информация в тази област
Линейната матрична алгебра е изследване на подобни набори от уравнения и техните трансформационни свойства. Тази област на знания ви позволява да анализирате ротациите в пространството, да приближавате най-малките квадрати, да решавате свързани диференциални уравнения, да определяте окръжност, минаваща през три дадени точки, и да решавате много други проблеми по математика, физика и технология. Линейната алгебра на матрица всъщност не е техническият смисъл на използваната дума, тоест векторно пространство v над поле f и т.н.
Матрицата и детерминантата са изключително полезни инструменти за линейна алгебра. Една от централните задачи е решението на матричното уравнение Ax=b, за x. Въпреки че теоретично това може да бъде решено с помощта на обратното x=A-1 b. Други методи, като елиминирането на Гаус, са числено по-надеждни.
Освен че се използва за описание на изследването на линейни набори от уравнения, посочениятгорният термин се използва и за описание на определен тип алгебра. По-специално, L над поле F има структурата на пръстен с всички обичайни аксиоми за вътрешно събиране и умножение, заедно с разпределителни закони. Следователно, той му придава повече структура от пръстен. Линейната матрична алгебра също допуска външна операция на умножение по скалари, които са елементи на основното поле F. Например, множеството от всички разглеждани трансформации от векторно пространство V към себе си върху поле F се формира върху F. Друг пример за линейно поле алгебрата е набор от всички реални квадратни матрици над поле R реални числа.
