В математиката и обработката концепцията за аналитичен сигнал (накратко - C, AC) е сложна функция, която няма отрицателни честотни компоненти. Реалните и въображаемите части на това явление са реални функции, свързани една с друга чрез преобразуването на Хилберт. Аналитичният сигнал е доста често срещано явление в химията, чиято същност е подобна на математическата дефиниция на това понятие.
Изпълнения
Аналитичното представяне на реална функция е аналитичен сигнал, съдържащ оригиналната функция и нейното преобразуване на Хилберт. Това представяне улеснява много математически манипулации. Основната идея е, че отрицателните честотни компоненти на преобразуването на Фурие (или спектъра) на реална функция са излишни поради ермитовата симетрия на такъв спектър. Тези отрицателни честотни компоненти могат да бъдат изхвърлени беззагуба на информация, при условие че вместо това искате да се справите със сложна функция. Това прави определени атрибути на характеристиките по-достъпни и улеснява извличането на техники за модулация и демодулация като SSB.
Отрицателни компоненти
Докато функцията, която се манипулира, няма отрицателни честотни компоненти (т.е. все още е аналитична), преобразуването от комплексно обратно в реално е просто въпрос на изхвърляне на въображаемата част. Аналитичното представяне е обобщение на концепцията за вектор: докато векторът е ограничен до неизменна във времето амплитуда, фаза и честота, качественият анализ на аналитичен сигнал позволява параметри, вариращи във времето.
Моментна амплитуда, моментна фаза и честота се използват в някои приложения за измерване и откриване на локални характеристики на C. Друго приложение на аналитичното представяне е свързано с демодулацията на модулирани сигнали. Полярните координати удобно разделят ефектите на AM и фазовата (или честотната) модулация и ефективно демодулират определени видове.
След това един прост нискочестотен филтър с реални коефициенти може да отреже частта от интерес. Друг мотив е намаляването на максималната честота, което намалява минималната честота за семплиране без псевдоним. Изместването на честотата не подкопава математическата полезност на представянето. Следователно в този смисъл преобразуваното надолу е все още аналитично. Въпреки това, възстановяването на реалното представителствовече не е прост въпрос на просто извличане на истинския компонент. Може да се наложи преобразуване нагоре и ако сигналът е семплиран (дискретно време), може да се наложи и интерполация (повишаване на дискретизация), за да се избегне псевдоним.
Променливи
Концепцията е добре дефинирана за единични променливи явления, които обикновено са временни. Тази темпоралност обърква много начинаещи математици. За две или повече променливи аналитичното C може да бъде дефинирано по различни начини и два подхода са представени по-долу.
Реалната и въображаемата части на това явление съответстват на два елемента от моногенен сигнал с векторна стойност, както е дефинирано за подобни явления с една променлива. Въпреки това, моногенният може да бъде разширен до произволен брой променливи по прост начин, създавайки (n + 1)-мерна векторна функция за случая на сигнали с n променливи.
Преобразуване на сигнал
Можете да преобразувате реален сигнал в аналитичен, като добавите въображаем (Q) компонент, който е преобразуването на Хилберт на реалния компонент.
Между другото, това не е ново за неговата цифрова обработка. Един от традиционните начини за генериране на AM с единична странична лента (SSB), методът на фазиране, включва създаване на сигнали чрез генериране на хилбертова трансформация на аудио сигнал в аналогова резисторно-кондензаторна мрежа. Тъй като има само положителни честоти, лесно е да го преобразувате в модулиран RF сигнал само с една странична лента.
Формули за дефиниция
Аналитичният сигнален израз е холоморфна комплексна функция, дефинирана на границата на горната комплексна полуравнина. Границата на горната полуравнина съвпада със случайната, така че C се дава от картографирането fa: R → C. От средата на миналия век, когато Денис Габор предлага през 1946 г. да се използва това явление за изследване на постоянна амплитуда и фаза, сигналът е намерил много приложения. Особеността на това явление беше подчертана [Vak96], където беше показано, че само качествен анализ на аналитичния сигнал отговаря на физическите условия за амплитуда, фаза и честота..
Последни постижения
През последните няколко десетилетия се наблюдава интерес към изследването на сигнала в много измерения, мотивиран от проблеми, възникващи в области, вариращи от обработка на изображения/видео до многоизмерни осцилаторни процеси във физиката, като сеизмични, електромагнитни и гравитационни вълни. Общоприето е, че за да се обобщи правилно аналитичният C (качествен анализ) в случай на няколко измерения, трябва да се разчита на алгебрична конструкция, която разширява обикновените комплексни числа по удобен начин. Такива конструкции обикновено се наричат хиперкомплексни числа [SKE].
Накрая, би трябвало да е възможно да се конструира хиперкомплексен аналитичен сигнал fh: Rd → S, където е представена някаква обща хиперкомплексна алгебрична система, която естествено разширява всички необходими свойства за получаване на мигновена амплитуда ифаза.
Проучване
Редица статии са посветени на различни въпроси, свързани с правилния избор на хиперкомплексната бройна система, дефинирането на хиперкомплексното преобразуване на Фурие и дробните преобразувания на Хилберт за изследване на моментната амплитуда и фаза. По-голямата част от тази работа се основава на свойства на различни пространства като Cd, кватерниони, алгебри на Клирон и конструкции на Кейли-Диксън.
След това ще изброим само някои от работите, посветени на изследването на сигнала в много измерения. Доколкото ни е известно, първите разработки по многовариантния метод са получени в началото на 90-те години. Те включват работата на Ел [Ell92] за хиперкомплексни трансформации; Работата на Булоу върху обобщаването на метода на аналитичната реакция (аналитичен сигнал) към много измервания [BS01] и работата на Felsberg и Sommer върху моногенни сигнали.
Допълнителни перспективи
Сигналът за хиперкомплекс се очаква да разшири всички полезни свойства, които имаме в 1D случай. На първо място, трябва да можем да извлечем и обобщим моментната амплитуда и фаза към измерванията. Второ, спектърът на Фурие на сложен аналитичен сигнал се поддържа само при положителни честоти, така че очакваме хиперкомплексната трансформация на Фурие да има свой собствен хиперценен спектър, който ще се поддържа само в някакъв положителен квадрант на хиперкомплексното пространство. Защото е много важно.
Трето, съчетайте части от сложно понятиена аналитичния сигнал са свързани с трансформацията на Хилберт и можем да очакваме, че конюгираните компоненти в хиперкомплексното пространство също трябва да бъдат свързани с някаква комбинация от трансформациите на Хилберт. И накрая, наистина, хиперкомплексният сигнал трябва да бъде дефиниран като разширение на някаква хиперкомплексна холоморфна функция на няколко хиперкомплексни променливи, дефинирани на границата на някаква форма в хиперкомплексно пространство.
Разглеждаме тези проблеми в последователен ред. Първо, започваме с разглеждане на интегралната формула на Фурие и показваме, че преобразуването на Хилберт в 1-D е свързано с модифицираната интегрална формула на Фурие. Този факт ни позволява да дефинираме моментната амплитуда, фаза и честота без никакво препращане към хиперкомплексни бройни системи и холоморфни функции.
Промяна на интегралите
Продължаваме, като разширяваме модифицираната интегрална формула на Фурие до няколко измерения и определяме всички необходими фазово изместени компоненти, които можем да съберем в моментална амплитуда и фаза. Второ, ние се обръщаме към въпроса за съществуването на холоморфни функции на няколко хиперкомплексни променливи. След [Sch93] се оказва, че комутативната и асоциативната хиперкомплексна алгебра, генерирана от набор от елиптични (e2i=−1) генератори, е подходящо пространство за живот на хиперкомплексен аналитичен сигнал, ние наричаме такава хиперкомплексна алгебра пространството на Шеферс и означаваме тоSd.
Следователно, хиперкомплексът на аналитичните сигнали се дефинира като холоморфна функция на границата на полидиска / горната половина на равнината в някакво хиперкомплексно пространство, което наричаме общо пространство на Шефърс и се означава с Sd. След това наблюдаваме валидността на интегралната формула на Коши за функциите Sd → Sd, които са изчислени върху хиперповърхност вътре в полидиск в Sd и извеждаме съответните дробни трансформации на Хилберт, които свързват хиперкомплексните конюгирани компоненти. Накрая се оказва, че преобразуването на Фурие със стойности в пространството на Шеферс се поддържа само при неотрицателни честоти. Благодарение на тази статия научихте какво е аналитичен сигнал.
