В статията, предоставена на вашето внимание, предлагаме примери за математически модели. Освен това ще обърнем внимание на етапите на създаване на модели и ще анализираме някои от задачите, свързани с математическото моделиране.
Още един от нашите въпроси е за математически модели в икономиката, примери, чието определение ще разгледаме малко по-късно. Предлагаме да започнем нашия разговор със самото понятие „модел“, да разгледаме накратко тяхната класификация и да преминем към нашите основни въпроси.
Концепцията за "модел"
Често чуваме думата "модел". Какво е? Този термин има много дефиниции, ето само три от тях:
- специфичен обект, който е създаден за получаване и съхраняване на информация, отразяваща някои свойства или характеристики и т.н. на оригинала на този обект (този специфичен обект може да бъде изразен в различни форми: умствен, описание с помощта на знаци, и така нататък);
- модел също означава показване на всяка конкретна ситуация, живот илиуправленски;
- моделът може да служи като намалено копие на всеки обект (те са създадени за по-подробно изследване и анализ, тъй като моделът отразява структурата и взаимоотношенията).
Въз основа на всичко, което беше казано по-рано, можем да направим малък извод: моделът ви позволява да изучавате сложна система или обект в детайли.
Всички модели могат да бъдат класифицирани според редица критерии:
- по област на употреба (образователни, експериментални, научни и технически, игри, симулация);
- по динамика (статична и динамична);
- по клон на знанието (физически, химически, географски, исторически, социологически, икономически, математически);
- по начин на представяне (материал и информация).
Информационните модели от своя страна се делят на знакови и вербални. И емблематични - на компютър и некомпютър. Сега нека преминем към подробно разглеждане на примери за математически модел.
Математически модел
Както може да се досетите, математическият модел отразява някои характеристики на обект или явление, използвайки специални математически символи. Математиката е необходима, за да моделира моделите на заобикалящия свят на свой специфичен език.
Методът на математическото моделиране възниква преди доста отдавна, преди хиляди години, заедно с появата на тази наука. Импулсът за развитието на този метод за моделиране обаче даде появата на компютрите (електронни компютри).
Сега да преминем към класификацията. Може да се извърши и по някои признаци. Те саса представени в таблицата по-долу.
| Класификация по клон на науката | Прилагане на математически модели във физиката, социологията, химията и така нататък |
| Според математическия апарат, използван в процеса на моделиране | Модели, базирани на диференциални уравнения, дискретни алгебрични трансформации и други подобни |
| Чрез моделиране на цели | Според този принцип съществуват описателни, оптимизационни, многокритериални, игрови и симулационни модели |
Предлагаме да спрем и да разгледаме по-отблизо последната класификация, тъй като тя отразява общите модели на моделиране и целите на създаваните модели.
Описателни модели
В тази глава предлагаме да се спрем по-подробно на описателните математически модели. За да стане всичко много ясно, ще бъде даден пример.
За начало този изглед може да се нарече описателен. Това се дължи на факта, че ние просто правим изчисления и прогнози, но не можем да повлияем на резултата от събитието по никакъв начин.
Поразителен пример за описателен математически модел е изчисляването на траекторията на полета, скоростта, разстоянието от Земята на комета, нахлула в необятността на нашата слънчева система. Този модел е описателен, тъй като всички получени резултати могат само да ни предупредят за някаква опасност. Влияние на резултата от събитието, уви, ние неМога. Въпреки това, въз основа на получените изчисления е възможно да се предприемат всякакви мерки за спасяване на живота на Земята.
Модели за оптимизация
Сега ще поговорим малко за икономически и математически модели, примери за които могат да бъдат различни ситуации. В този случай говорим за модели, които помагат да се намери правилният отговор при определени условия. Те трябва да имат някои параметри. За да стане много ясно, разгледайте пример от селскостопанската част.
Имаме житница, но зърното се разваля много бързо. В този случай трябва да изберем правилния температурен режим и да оптимизираме процеса на съхранение.
По този начин можем да дефинираме концепцията за "оптимизационен модел". В математически смисъл това е система от уравнения (както линейни, така и не), чието решение помага да се намери оптималното решение в конкретна икономическа ситуация. Разгледахме пример за математически модел (оптимизация), но бих искал да добавя: този тип принадлежи към класа на екстремните проблеми, те помагат да се опише функционирането на икономическата система.
Забележете още един нюанс: моделите могат да бъдат от различно естество (вижте таблицата по-долу).
| детерминистично | В този случай резултатът зависи от входните данни |
| стохастичен | Описание на произволни процеси. В този случай резултатът остава недефиниран |
Многокритериални модели
Сега ви каним да поговорим малко заматематически модел на многоцелева оптимизация. Преди това дадохме пример за математически модел за оптимизиране на процес по всеки един критерий, но какво ще стане, ако има много от тях?
Ярък пример за многокритериална задача е организирането на правилно, здравословно и в същото време икономично хранене за големи групи хора. Такива задачи често се срещат в армията, училищни столове, летни лагери, болници и така нататък.
Какви критерии са дадени в този проблем?
- Храната трябва да е здравословна.
- Разходите за храна трябва да бъдат сведени до минимум.
Както виждате, тези цели изобщо не съвпадат. Това означава, че при решаване на проблем е необходимо да се търси оптималното решение, баланс между два критерия.
Игрови модели
Говорейки за модели на игри, е необходимо да се разбере концепцията за "теория на игрите". Просто казано, тези модели отразяват математически модели на реални конфликти. Само имайте предвид, че за разлика от истински конфликт, математическият модел на играта има свои специфични правила.
Сега ще има минимум информация от теорията на игрите, която ще ви помогне да разберете какво представлява моделът на играта. И така, в модела задължително има партии (две или повече), които обикновено се наричат играчи.
Всички модели имат някои характеристики.
| Subjects | Брой играчи |
| Стратегия | Опции за възможни действия |
| Плащане | Изход от конфликта (победа или загуба). |
Моделът на играта може да бъде сдвоен или множествен. Ако имаме два субекта, тогава конфликтът е сдвоен, ако повече - множествен. Може да се различи и антагонистична игра, нарича се още игра с нулева сума. Това е модел, при който печалбата на единия от участниците е равна на загубата на другия.
Симулационни модели
В този раздел ще обърнем внимание на симулационните математически модели. Примери за задачи са:
- модел на динамиката на броя на микроорганизмите;
- модел на движението на молекулите и т.н.
В този случай говорим за модели, които са максимално близки до реалните процеси. Като цяло те имитират всякакви проявления в природата. В първия случай, например, можем да моделираме динамиката на броя на мравките в една колония. В този случай можете да наблюдавате съдбата на всеки индивид. В този случай математическото описание се използва рядко, по-често има писмени условия:
- след пет дни женската снася яйца;
- 20 дни по-късно мравката умира и така нататък.
По този начин, симулационните модели се използват за описване на голяма система. Математическо заключение е обработката на получените статистически данни.
Изисквания
Много важноимайте предвид, че има някои изисквания за този тип модел, сред които са посочените в таблицата по-долу.
| Универсалност | Това свойство ви позволява да използвате същия модел, когато описвате групи от обекти от един и същи тип. Важно е да се отбележи, че универсалните математически модели са напълно независими от физическата природа на обекта, който се изследва |
| адекватност | Важно е да разберете, че това свойство ви позволява да възпроизвеждате реални процеси възможно най-точно. При оперативните задачи това свойство на математическото моделиране е много важно. Пример за модел е процесът на оптимизиране на използването на газова система. В този случай се сравняват изчислените и действителните показатели, в резултат на което се проверява правилността на съставения модел |
| точност | Това изискване предполага съвпадението на стойностите, които получаваме при изчисляване на математическия модел и входните параметри на нашия реален обект |
| Икономика | Изискването за разходна ефективност за всеки математически модел се характеризира с разходи за внедряване. Ако работата с модела се извършва ръчно, тогава е необходимо да се изчисли колко време ще отнеме за решаване на една задача с помощта на този математически модел. Ако говорим за компютърно проектиране, тогава се изчисляват показателите за разходите за време и компютърната памет |
Етапимоделиране
Общо е обичайно да се разграничават четири етапа в математическото моделиране.
- Формулирайте законите, които свързват частите на модела.
- Изследване на математически проблеми.
- Изясняване на съвпадението на практическите и теоретичните резултати.
- Анализ и модернизация на модела.
Икономически и математически модел
В този раздел ще подчертаем накратко въпроса за икономическите и математическите модели. Примери за задачи са:
- формиране на производствена програма за производство на месни продукти, осигуряваща максимална печалба от производството;
- максимизирайте печалбата на организацията, като изчислите оптималния брой маси и столове, които да се произвеждат в мебелна фабрика, и т.н.
Икономическо-математическият модел показва икономическа абстракция, която се изразява с помощта на математически термини и знаци.
Компютърен математически модел
Примери за компютърен математически модел са:
- проблеми на хидравликата с използване на блок-схеми, диаграми, таблици и така нататък;
- проблеми с механиката на твърдите тела и така нататък.
Компютърният модел е изображение на обект или система, представено като:
- маси;
- схеми;
- диаграми;
- графики и т.н.
В същото време този модел отразява структурата и взаимовръзките на системата.
Изграждане на икономико-математически модел
Вече говорихме за това какво икономическоматематически модел. Пример за решаване на проблема ще бъде разгледан точно сега. Трябва да анализираме производствената програма, за да идентифицираме резерва за увеличаване на печалбите с промяна в асортимента.
Няма да разгледаме напълно проблема, а само ще изградим икономически и математически модел. Критерият за нашата задача е максимизиране на печалбата. Тогава функцията има вида: Л=р1х1+р2х2… стремяща се към максимум. В този модел p е печалбата на единица, x е броят на произведените единици. Освен това, въз основа на конструирания модел, е необходимо да се направят изчисления и да се обобщи.
Пример за изграждане на прост математически модел
Задача. Рибарят се върна със следния улов:
- 8 риби - обитатели на северните морета;
- 20% от улова - жителите на южните морета;
- не е намерена нито една риба от местната река.
Колко риби е купил в магазина?
И така, пример за изграждане на математически модел на този проблем е както следва. Обозначаваме общия брой риби като x. След условието, 0,2x е броят на рибите, живеещи в южните ширини. Сега комбинираме цялата налична информация и получаваме математическия модел на задачата: x=0, 2x+8. Решаваме уравнението и получаваме отговора на основния въпрос: той купи 10 риби в магазина.
