Такъв невероятен и познат квадрат. Той е симетричен спрямо центъра и осите, начертани по диагоналите и през центровете на страните. И да се търси площта на квадрат или неговия обем не е никак трудно. Особено ако дължината на страната му е известна.
Няколко думи за фигурата и нейните свойства
Първите две свойства са свързани с определението. Всички страни на фигурата са равни една на друга. В крайна сметка квадратът е правилен четириъгълник. Освен това всички страни трябва да са равни и ъглите да имат една и съща стойност, а именно 90 градуса. Това е второто свойство.
Третото е свързано с дължината на диагоналите. Те също се оказват равни помежду си. Освен това те се пресичат под прав ъгъл и в средните точки.
Формула, използваща само дължина на страната
Първо, относно нотацията. За дължината на страната е обичайно да изберете буквата "а". Тогава квадратната площ се изчислява по формулата: S=a2.
Лесно се получава от този, известен за правоъгълника. В него дължината и ширината се умножават. За квадрат тези два елемента са равни. Следователно във формулатаквадратът на тази една стойност се появява.
Формула, в която се появява дължината на диагонала
Това е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са страните на фигурата. Следователно, можете да използвате формулата на питагоровата теорема и да изведете равенство, в което страната се изразява чрез диагонала.
След такива прости трансформации получаваме, че квадратната площ през диагонала се изчислява по следната формула:
S=d2 / 2. Тук буквата d обозначава диагонала на квадрата.
Формула на периметъра
В такава ситуация е необходимо да изразите страната през периметъра и да я заместите във формулата за площ. Тъй като фигурата има четири еднакви страни, периметърът ще трябва да бъде разделен на 4. Това ще бъде стойността на страната, която след това може да бъде заменена с първоначалната и да се изчисли площта на квадрата.
Общата формула изглежда така: S=(Р/4)2.
Проблеми за изчисления
1. Има квадрат. Сборът от двете му страни е 12 см. Изчислете площта на квадрата и неговия периметър.
Решение. Тъй като е даден сборът от двете страни, трябва да намерим дължината на едната. Тъй като те са еднакви, известното число просто трябва да бъде разделено на две. Това означава, че страната на тази фигура е 6 см.
След това неговият периметър и площ се изчисляват лесно с помощта на горните формули. Първият е 24 см, а вторият е 36 см2.
Отговор. Периметърът на квадрат е 24 см, а площта му е 36 см2.
2. Намерете площта на квадрат с периметър 32 mm.
Решение. Достатъчно е просто да замените стойността на периметъра във формулата, написана по-горе. Въпреки че първо можете да разберете страната на квадрата и едва след това неговата площ.
И в двата случая действията първо ще включват деление, а след това и степенуване. Простите изчисления водят до факта, че площта на представения квадрат е 64 mm2.
Отговор. Желаната площ е 64 mm2.
3. Страната на квадрата е 4 dm. Правоъгълни размери: 2 и 6 дм. Коя от двете фигури има по-голяма площ? Колко?
Решение. Нека страната на квадрата е маркирана с буквата a1, тогава дължината и ширината на правоъгълника са a2 и 2 . За да се определи площта на квадрат, стойността на a1 трябва да бъде на квадрат, а стойността на правоъгълник трябва да се умножи по a2и 2 . Лесно е.
Оказва се, че площта на квадрат е 16 dm2, а правоъгълник е 12 dm2. Очевидно първата фигура е по-голяма от втората. Това е въпреки факта, че те са равни, тоест имат еднакъв периметър. За да проверите, можете да преброите периметрите. В квадрата страната трябва да се умножи по 4, получавате 16 dm. Добавете страните на правоъгълника и умножете по 2. Ще бъде същото число.
В задачата трябва да отговорите и колко се различават областите. За да направите това, извадете по-малкото число от по-голямото число. Разликата се оказва 4 dm2.
Отговор. Площите са 16 dm2 и 12 dm2. Квадратът има още 4 dm2.
Проблем с доказателство
Състояние. Върху катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник е построен квадрат. До нейната хипотенуза се изгражда надморска височина, върху която е построен друг квадрат. Докажете, че площта на първата е два пъти по-голяма от втората.
Решение. Нека въведем нотация. Нека кракът е равен на a, а височината, изтеглена към хипотенузата, е x. Площта на първия квадрат е S1, втория квадрат е S2.
Площта на квадрата, построен върху крака, е лесна за изчисляване. Оказва се, че е равно на a2. С втората стойност нещата не са толкова прости.
Първо трябва да разберете дължината на хипотенузата. За това е полезна формулата на Питагоровата теорема. Прости трансформации водят до този израз: a√2.
Тъй като височината в равнобедрен триъгълник, изтеглена към основата, е също медиана и височина, тя разделя големия триъгълник на два равни равнобедрени правоъгълни триъгълника. Следователно височината е половината от хипотенузата. Тоест, x \u003d (a √ 2) / 2. От тук е лесно да откриете площта S2. Оказва се, че е равно на a2/2.
Очевидно записаните стойности се различават точно с коефициент два. А вторият е много по-малко. Както се изисква за доказване.
Необичаен пъзел - tangram
Прави се от квадрат. Тя трябва да бъде нарязана на различни форми според определени правила. Общо части трябва да са 7.
Правилата предполагат, че по време на играта ще бъдат използвани всички получени части. От тях трябва да направите други геометрични фигури. Например,правоъгълник, трапец или паралелограм.
Но е още по-интересно, когато от парчетата се получават силуети на животни или предмети. Освен това се оказва, че площта на всички производни фигури е равна на тази на началния квадрат.
