За да разберем какви са екстремалните точки на дадена функция, изобщо не е необходимо да знаем за наличието на първата и втората производни и да разбираме тяхното физическо значение. Първо трябва да разберете следното:
- функционални екстремуми увеличават или, обратно, минимизират стойността на функцията в произволно малък квартал;
- Не трябва да има прекъсване на функцията в точката на екстремум.
И сега същото, само на прав език. Погледнете върха на химикалка. Ако писалката е поставена вертикално, с края на писането нагоре, тогава самата среда на топката ще бъде крайната точка - най-високата точка. В този случай говорим за максимума. Сега, ако завъртите писалката с края за писане надолу, тогава в средата на топката вече ще има минимум функцията. С помощта на фигурата, дадена тук, можете да си представите изброените манипулации за канцеларски молив. И така, екстремумите на функция винаги са критични точки: нейните максимуми или минимуми. Съседният участък на графиката може да бъде произволно остър или гладък, но трябва да съществува от двете страни, само в този случай точката е екстремум. Ако графиката присъства само от едната страна, тази точка няма да бъде екстремум, дори и от едната странаса изпълнени екстремни условия. Сега нека проучим екстремумите на функцията от научна гледна точка. За да се счита една точка за екстремум, е необходимо и достатъчно, че:
- първата производна е била равна на нула или не е съществувала в точката;
- първата производна промени знака си в този момент.
Условието се тълкува малко по-различно от гледна точка на производните от по-висок порядък: за функция, диференцируема в дадена точка, е достатъчно да има производна от нечетен ред, която не е равна на нула, докато всички производни от по-нисък ред трябва да съществуват и да са равни на нула. Това е най-простата интерпретация на теореми от учебниците по висша математика. Но за най-обикновените хора си струва да обясните тази точка с пример. Основата е обикновена парабола. Веднага направете резервация, в нулевата точка има минимум. Само малко математика:
- първа производна (X2)|=2X, за нулева точка 2X=0;
- втора производна (2X)|=2, за нулева точка 2=2.
Това е проста илюстрация на условията, които определят екстремумите на функцията както за производни от първи ред, така и за производни от по-висок ред. Към това можем да добавим, че втората производна е точно същата производна от нечетен ред, неравна на нула, което беше обсъдено малко по-горе. Когато става въпрос за екстремум на функция от две променливи, условията трябва да бъдат изпълнени и за двата аргумента. Коганастъпва обобщение, тогава се използват частни производни. Тоест, необходимо е за наличието на екстремум в точка, че и двете производни от първи ред са равни на нула или поне една от тях не съществува. За достатъчността на наличието на екстремум се изследва израз, който е разликата между произведението на производни от втори ред и квадрата на смесената производна от втори ред на функцията. Ако този израз е по-голям от нула, тогава има екстремум, а ако има нула, тогава въпросът остава отворен и са необходими допълнителни изследвания.
