Катетата и хипотенузата са страните на правоъгълен триъгълник. Първите са отсечки, които са съседни на десния ъгъл, а хипотенузата е най-дългата част на фигурата и е срещу ъгъла при 90o. Питагоров триъгълник е този, чиито страни са равни на естествени числа; техните дължини в този случай се наричат "питагоровата тройка".
египетски триъгълник
За да може сегашното поколение да учи геометрия във вида, в който се преподава в училище сега, тя се развива от няколко века. Основният момент е Питагоровата теорема. Страните на правоъгълен триъгълник (фигурата е известна в целия свят) са 3, 4, 5.
Малко хора не са запознати с фразата "Питагорейските панталони са равни във всички посоки." Теоремата обаче всъщност звучи така: c2 (квадратът на хипотенузата)=a2+b2(сборът от краката на квадратите).
Сред математиците триъгълник със страни 3, 4, 5 (см, м и т.н.) се нарича "египетски". Интересно е, че радиусът на окръжността, която е вписана в фигурата, е равен на единица. Името възниква около 5-ти век пр.н.е., когато гръцките философи пътуват до Египет.
При конструирането на пирамидите архитектите и геодезистите са използвали съотношение 3:4:5. Такива конструкции се оказаха пропорционални, приятни за окото и просторни, а също така рядко се срутваха.
За да изградят прав ъгъл, строителите са използвали въже, на което са вързани 12 възела. В този случай вероятността за конструиране на правоъгълен триъгълник се увеличава до 95%.
Знаци за равни цифри
- Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник и голяма страна, които са равни на същите елементи във втория триъгълник, е неоспорим знак за равенство на фигурите. Като се вземе предвид сумата от ъглите, лесно е да се докаже, че вторите остри ъгли също са равни. По този начин триъгълниците са идентични във втория елемент.
- Когато две фигури се наслагват една върху друга, ги завъртете по такъв начин, че те, комбинирани, да станат един равнобедрен триъгълник. Според свойството му страните или по-скоро хипотенузите са равни, както и ъглите в основата, което означава, че тези фигури са еднакви.
С първия знак е много лесно да се докаже, че триъгълниците са наистина равни, основното е, че двете по-малки страни (т.е. катета) са равни една на друга.
Триъгълниците ще бъдат еднакви във функция II, чиято същност е равенството на крака и острия ъгъл.
Свойства на триъгълник с прав ъгъл
Височината, спусната от прав ъгъл, разделя фигурата на две равни части.
Страните на правоъгълен триъгълник и неговата медиана се разпознават лесно по правилото: медианата, която е спусната до хипотенузата, е равна на половината от нея. Площта на фигура може да се намери както от формулата на Херон, така и от твърдението, че тя е равна на половината от произведението на краката.
В правоъгълен триъгълник свойствата на ъглите при 30o, 45o и 60o.
- С ъгъл, който е 30o, не забравяйте, че противоположният крак ще бъде равен на 1/2 от най-голямата страна.
- Ако ъгълът е 45o, тогава вторият остър ъгъл също е 45o. Това предполага, че триъгълникът е равнобедрен и краката му са еднакви.
- Свойството на ъгъл от 60o е, че третият ъгъл има градусова мярка 30o.
Зоната е лесна за откриване по една от трите формули:
- през височината и страната, на която пада;
- съгласно формулата на Херон;
- отстрани и ъгъла между тях.
Страните на правоъгълен триъгълник, или по-скоро краката, се събират с две височини. За да се намери третото, е необходимо да се разгледа полученият триъгълник и след това, използвайки питагоровата теорема, да се изчисли необходимата дължина. В допълнение към тази формула има и съотношението на удвоената площ и дължината на хипотенузата. Най-често срещаният израз сред учениците е първият, тъй като изисква по-малко изчисления.
Теореми, приложени към правоъгълниктриъгълник
Геометрията на правоъгълен триъгълник включва използването на теореми като:
- Питагоровата теорема. Същността му се крие във факта, че квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката. В евклидовата геометрия тази връзка е ключова. Можете да използвате формулата, ако е даден триъгълник, например SNH. SN е хипотенузата и трябва да бъде намерена. Тогава SN2=NH2+HS2.
- Косинусова теорема. Обобщава теоремата на Питагор: g2=f2+s2-2fscos на ъгъла между тях. Например, даден триъгълник DOB. Катетът DB и хипотенузата DO са известни, необходимо е да се намери OB. Тогава формулата приема следната форма: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos ъгъл D. Има три последствия: ъгълът на триъгълника ще бъде остър, ако квадратът на дължината на третия се извади от сумата на квадратите на двете страни, резултатът трябва да бъде по-малък от нула. Ъгълът е тъп, ако този израз е по-голям от нула. Ъгълът е прав ъгъл, когато е равен на нула.
- Синусна теорема. Показва връзката на страните с противоположните ъгли. С други думи, това е съотношението на дължините на страните към синусите на противоположните ъгли. В триъгълник HFB, където хипотенузата е HF, ще бъде вярно: HF/sin на ъгъл B=FB/sin на ъгъл H=HB/sin на ъгъл F.
