Ако линейното движение на телата се описва в класическата механика с помощта на законите на Нютон, тогава характеристиките на движението на механичните системи по кръгови траектории се изчисляват с помощта на специален израз, който се нарича уравнение на моментите. За какви моменти говорим и какво е значението на това уравнение? Тези и други въпроси са разкрити в статията.
Момент на сила
Всички добре знаят нютоновата сила, която, действайки върху тялото, води до придаване на ускорение към него. Когато такава сила е приложена към обект, който е фиксиран върху определена ос на въртене, тогава тази характеристика обикновено се нарича момент на сила. Моментът на уравнението на силата може да се запише, както следва:
M¯=L¯F¯
Картината, обясняваща този израз, е показана по-долу.
Тук можете да видите, че силата F¯ е насочена към вектора L¯ под ъгъл Φ. Самият вектор L¯ се приема, че е насочен от оста на въртене (означена със стрелката) към точката на приложениеF¯.
Горната формула е продукт на два вектора, така че M¯ също е насочен. Къде ще се обърне моментът на силата M¯? Това може да се определи от правилото на дясната ръка (четири пръста са насочени по траекторията от края на вектора L¯ до края на F¯, а левият палец показва посоката на M¯).
На фигурата по-горе изразът за момента на сила в скаларна форма ще приеме формата:
M=LFsin(Φ)
Ако погледнете отблизо фигурата, можете да видите, че Lsin(Φ)=d, тогава имаме формулата:
M=dF
Стойността на d е важна характеристика при изчисляването на момента на сила, тъй като отразява ефективността на приложеното F към системата. Тази стойност се нарича лост за сила.
Физическият смисъл на M се крие в способността на силата да върти системата. Всеки може да усети тази способност, ако отвори вратата от дръжката, като я натисне близо до пантите или ако се опита да развие гайката с къс и дълъг ключ.
Равновесие на системата
Концепцията за момент на сила е много полезна, когато се разглежда равновесието на система, върху която действат множество сили и има ос или точка на въртене. В такива случаи приложете формулата:
∑iMi¯=0
Тоест, системата ще бъде в равновесие, ако сумата от всички моменти на силите, приложени към нея, е нула. Имайте предвид, че в тази формула има векторен знак за момента, тоест при решаване не трябва да забравяте да вземете предвид знака на товаколичества. Общоприетото правило е, че действащата сила, която върти системата обратно на часовниковата стрелка, създава положително Mi¯.
Поразителен пример за проблеми от този тип са проблемите с баланса на лостовете на Архимед.
Момент на инерция
Това е друга важна характеристика на кръговото движение. Във физиката се описва като произведение на импулса и лоста. Уравнението на инерцията изглежда така:
T¯=r¯p¯
Тук p¯ е векторът на импулса, r¯ е векторът, свързващ въртящата се материална точка с оста.
Фигурата по-долу илюстрира този израз.
Тук ω е ъгловата скорост, която ще се появи по-нататък в уравнението за момента. Забележете, че посоката на вектора T¯ се намира по същото правило като M¯. На фигурата по-горе, T¯ в посока ще съвпада с вектора на ъгловата скорост ω¯.
Физическият смисъл на T¯ е същият като характеристиките на p¯ в случай на линейно движение, т.е. ъгловият импулс описва количеството въртеливо движение (съхранената кинетична енергия).
Момент на инерция
Третата важна характеристика, без която е невъзможно да се формулира уравнението на движението на въртящ се обект, е моментът на инерция. Той се появява във физиката в резултат на математически трансформации на формулата за ъгловия импулс на материална точка. Нека ви покажем как се прави.
Нека си представим стойносттаT¯ както следва:
T¯=r¯mv¯, където p¯=mv¯
Използвайки връзката между ъглова и линейна скорост, можем да пренапишем този израз, както следва:
T¯=r¯mr¯ω¯, където v¯=r¯ω¯
Запишете последния израз, както следва:
T¯=r2mω¯
Стойността r2m е инерционният момент I за точка с маса m, която извършва кръгово движение около ос на разстояние r от нея. Този специален случай ни позволява да въведем общото уравнение на момента на инерция за тяло с произволна форма:
I=∫m (r2dm)
I е адитивна величина, чийто смисъл е в инерцията на въртящата се система. Колкото по-голям е I, толкова по-трудно е да се върти тялото и са необходими значителни усилия, за да го спрете.
Моментно уравнение
Разгледахме три количества, чието име започва с думата "момент". Това беше направено умишлено, тъй като всички те са свързани в един израз, наречен 3-моментно уравнение. Нека го извадим.
Разгледайте израза за ъгловия импулс T¯:
T¯=Iω¯
Намерете как стойността на T¯ се променя във времето, имаме:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Като се има предвид, че производната на ъгловата скорост е равна на тази на линейната скорост, разделена на r, и разширяване на стойността на I, стигаме до израза:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, където a¯=dv¯/dt е линейно ускорение.
Забележете, че произведението на масата и ускорението не е нищо друго освен действащата външна сила F¯. В резултат получаваме:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Стигнахме до интересно заключение: промяната в ъгловия импулс е равна на момента на действащата външна сила. Този израз обикновено се пише в малко по-различна форма:
M¯=Iα¯, където α¯=dω¯/dt - ъглово ускорение.
Това равенство се нарича уравнение на моментите. Позволява ви да изчислите всяка характеристика на въртящо се тяло, като знаете параметрите на системата и големината на външното въздействие върху нея.
Закон за опазване T¯
Изводът, получен в предишния параграф, показва, че ако външният момент на силите е равен на нула, тогава ъгловият момент няма да се промени. В този случай пишем израза:
T¯=const. или I1ω1¯=I2ω2 ¯
Тази формула се нарича закон за запазване на T¯. Тоест, всякакви промени в системата не променят общия ъглов импулс.
Този факт се използва от фигуристите и балерините по време на своите изпълнения. Използва се и ако е необходимо да се завърти изкуствен спътник, движещ се в пространството около оста си.
