За начало си струва да си припомним какво е диференциал и какво математическо значение носи той.
Диференциалът на функция е продукт на производната на функция от аргумент и диференциала на самия аргумент. Математически това понятие може да се запише като израз: dy=y'dx.
От своя страна, според дефиницията на производната на функцията, равенството y'=lim dx-0(dy/dx) е вярно, а според дефиницията на границата, изразът dy/dx=x'+α, където параметърът α е безкрайно малка математическа стойност.
Следователно и двете части на израза трябва да се умножат по dx, което в крайна сметка дава dy=y'dx+αdx, където dx е безкрайно малка промяна в аргумента, (αdx) е стойност което може да се пренебрегне, тогава dy е приращението на функцията, а (ydx) е основната част от приращението или диференциала.
Диференциалът на функция е продукт на производната на функция и диференциала на аргумента.
Сега си струва да разгледаме основните правила за диференциране, които доста често се използват в математическия анализ.
Теорема. Производната на сбора е равна на сумата от производните, получени от термините: (a+c)'=a'+c'.
По същия начинтова правило ще се прилага и за намиране на производната на разликата.
Последицата от това правило за диференциране е твърдението, че производната на определен брой термини е равна на сумата от производните, получени от тези термини.
Например, ако трябва да намерите производната на израза (a+c-k)', тогава резултатът ще бъде изразът a'+c'-k'.
Теорема. Производната на произведението на математически функции, които са диференцируеми в дадена точка, е равна на сумата, състояща се от произведението на първия фактор и производната на втория и произведението на втория фактор и производната на първия.
Математически теоремата ще бъде написана, както следва: (ac)'=ac'+a'c. Следствие от теоремата е заключението, че постоянният фактор в производната на произведението може да бъде изваден от производната на функцията.
Във формата на алгебричен израз, това правило ще бъде записано, както следва: (ac)'=ac', където a=const.
Например, ако трябва да намерите производната на израза (2a3)', тогава резултатът ще бъде отговорът: 2(a3)'=23a2=6a2.
Теорема. Производната на съотношението на функциите е равна на съотношението между разликата между производната на числителя, умножена по знаменателя, и числителя, умножена по производната на знаменателя и квадрата на знаменателя.
Математически теоремата ще бъде написана, както следва: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
В заключение е необходимо да се разгледат правилата за диференциране на сложни функции.
Теорема. Нека функцията y=f (x), където x=c (t), след това функцията y, по отношение накъм променливата m, се нарича комплексна.
Така, в математическия анализ, производната на сложна функция се интерпретира като производна на самата функция, умножена по производната на нейната подфункция. За удобство правилата за диференциране на сложни функции са представени под формата на таблица.
f(x) |
f'(x) |
| (1/s)' | -(1/s2)s' |
| (ас)' | ac(ln a)c' |
| (ес)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/s)s' |
| (log ac)' | 1/(сlg a)c' |
| (sin c)' | cos ss' |
| (cos c)' | -sin ss' |
При редовно използване на тази таблица дериватите са лесни за запомняне. Останалите производни на сложните функции могат да бъдат намерени чрез прилагане на правилата за диференциране на функциите, които са посочени в теоремите и следствията от тях.
