Паралелизмът на равнините е концепция, която се появява за първи път в евклидовата геометрия преди повече от две хиляди години.
Основни характеристики на класическата геометрия
Раждането на тази научна дисциплина се свързва с известния труд на древногръцкия мислител Евклид, който написва брошурата "Начало" през трети век пр.н.е. Разделени на тринадесет книги, Елементите бяха най-високото постижение на цялата древна математика и излагаха основните постулати, свързани със свойствата на равнините фигури.
Класическото условие за успоредност на равнините е формулирано по следния начин: две равнини могат да се нарекат успоредни, ако нямат общи точки една с друга. Това беше петият постулат на Евклидовия труд.
Свойства на успоредни равнини
В евклидовата геометрия обикновено има пет от тях:
Първото свойство (описва паралелизма на равнините и тяхната уникалност). Чрез една точка, която лежи извън определена дадена равнина, можем да начертаем една и само една равнина, успоредна на нея
- Второ свойство (наричано още свойство на три паралела). Когато са два самолетауспоредни на третото, те също са успоредни един на друг.
Трето свойство (с други думи, то се нарича свойство на права линия, пресичаща успоредността на равнините). Ако една права линия пресича една от тези успоредни равнини, тогава тя ще пресича и другата
Четвърто свойство (свойство на прави линии, изрязани на равнини, успоредни една на друга). Когато две успоредни равнини се пресичат с трета (под произволен ъгъл), техните пресечни линии също са успоредни
Пето свойство (свойство, което описва сегменти от различни успоредни линии, които са затворени между равнини, успоредни една на друга). Сегментите на тези успоредни прави, които са затворени между две успоредни равнини, задължително са равни
Успоредност на равнините в неевклидови геометрии
Такива подходи са по-специално геометрията на Лобачевски и Риман. Ако геометрията на Евклид е реализирана върху плоски пространства, то геометрията на Лобачевски е реализирана в отрицателно извити пространства (просто извити), а в тази на Риман намира своята реализация в положително извити пространства (с други думи, сфери). Има много разпространено стереотипно мнение, че успоредните равнини на Лобачевски (и правите също) се пресичат.
Това обаче не е правилно. Всъщност раждането на хиперболичната геометрия е свързано с доказателството на петия постулат на Евклид и промянатавъзгледи за него обаче, самото определение на успоредните равнини и прави предполага, че те не могат да се пресичат нито при Лобачевски, нито при Риман, независимо в какви пространства са реализирани. И промяната във възгледите и формулировките беше следната. Постулатът, че само една успоредна равнина може да бъде проведена през точка, която не лежи в дадена равнина, е заменен с друга формулировка: през точка, която не лежи в дадена конкретна равнина, две, най-малко, прави, които лежат в същата равнина като дадената и не я пресича.
