Хексагонална призма и нейните основни характеристики

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Пространствената геометрия е изследване на призмите. Важните им характеристики са обемът, съдържащ се в тях, площта на повърхността и броят на съставните елементи. В статията ще разгледаме всички тези свойства за шестоъгълна призма.

За коя призма говорим?

Шестоъгълна призма е фигура, образувана от два многоъгълника с шест страни и шест ъгъла и шест паралелограма, свързващи маркираните шестоъгълници в една геометрична формация.

Фигурата показва пример за тази призма.

Шестоъгълникът, отбелязан в червено, се нарича основа на фигурата. Очевидно броят на неговите основи е равен на две и двете са еднакви. Жълто-зеленикавите лица на призмата се наричат нейни страни. На фигурата те са представени с квадрати, но като цяло са успоредни.

Шестоъгълната призма може да бъде наклонена и права. В първия случай ъглите между основата и страните не са прави, във втория са равни на 90o. Също така, тази призма може да бъде правилна и неправилна. Правилен шестоъгълникпризмата трябва да е права и да има правилен шестоъгълник в основата. Горната призма на фигурата удовлетворява тези изисквания, така че се нарича правилна. По-нататък в статията ще изучаваме само неговите свойства, като общ случай.

Елементи

За всяка призма основните й елементи са ръбове, лица и върхове. Шестоъгълната призма не е изключение. Фигурата по-горе ви позволява да преброите броя на тези елементи. И така, получаваме 8 лица или страни (две основи и шест странични успоредника), броят на върховете е 12 (6 върха за всяка основа), броят на ръбовете на шестоъгълна призма е 18 (шест странични и 12 за основите).

През 1750-те години Леонхард Ойлер (швейцарски математик) установява за всички полиедри, които включват призма, математическа връзка между числата на посочените елементи. Тази връзка изглежда така:

брой ръбове=брой лица + брой върхове - 2.

Горните цифри отговарят на тази формула.

Диагонали на призма

Всички диагонали на шестоъгълна призма могат да бъдат разделени на два вида:

• тези, които лежат в равнините на лицата му;
• тези, които принадлежат на целия обем на фигурата.

Снимката по-долу показва всички тези диагонали.

Вижда се, че D₁ е страничният диагонал, D₂ и D₃ са диагоналите цялата призма, D₄ и D_{5 - диагоналите на основата.}

Дължините на диагоналите на страните са равни една на друга. Лесно е да ги изчислим с помощта на добре познатата питагорова теорема. Нека a е дължината на страната на шестоъгълника, b дължината на страничния ръб. Тогава диагоналът има дължина:

D₁=√(a² + b^2).

Диагонал D₄ също е лесно да се определи. Ако си спомним, че правилен шестоъгълник се вписва в кръг с радиус a, тогава D_{4 е диаметърът на този кръг, тоест получаваме следната формула:}

D_4=2a.

Диагонал D₅основите са малко по-трудни за намиране. За да направите това, разгледайте равностранен триъгълник ABC (вижте фиг.). За него AB=BC=a, ъгълът ABC е 120^{o. Ако намалим височината от този ъгъл (тя също ще бъде ъглополовяща и медиана), тогава половината от основата на AC ще бъде равна на:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC страната е диагоналът на D_{5, така че получаваме:}

D_5=AC=√3a.

Сега остава да се намерят диагоналите D₂и D_{3 на правилна шестоъгълна призма. За да направите това, трябва да видите, че те са хипотенузите на съответните правоъгълни триъгълници. Използвайки питагоровата теорема, получаваме:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

По този начин най-големият диагонал за всякакви стойности на a и b еD_2.

Площ на повърхността

За да разберете какво е заложено, най-лесният начин е да разгледате развитието на тази призма. Показан е на снимката.

Вижда се, че за да се определи площта на всички страни на разглежданата фигура, е необходимо да се изчисли площта на четириъгълника и площта на шестоъгълника поотделно, след което да се умножат чрез съответните цели числа, равни на броя на всеки n-ъгълник в призмата, и добавете резултатите. Шестоъгълници 2, правоъгълници 6.

За площта на правоъгълник получаваме:

S_1=ab.

Тогава площта на страничната повърхност е:

S_2=6ab.

За да определите площта на шестоъгълник, най-лесният начин е да използвате съответната формула, която изглежда така:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Замествайки числото n, равно на 6 в този израз, получаваме площта на един шестоъгълник:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Този израз трябва да се умножи по две, за да се получи площта на основите на призмата:

S_os=3√3a^2.

Остава да добавите S_os и S_{2, за да получите общата повърхност на фигурата:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Обем на призмата

След формулата заплощ на шестоъгълна основа, изчисляването на обема, съдържащ се във въпросната призма, е толкова лесно, колкото и черупката на круши. За да направите това, просто трябва да умножите площта на една основа (шестоъгълник) по височината на фигурата, чиято дължина е равна на дължината на страничния ръб. Получаваме формулата:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Забележете, че произведението на основата и височината дава стойността на обема на абсолютно всяка призма, включително наклонената. В последния случай обаче изчисляването на височината е сложно, тъй като тя вече няма да е равна на дължината на страничното ребро. Що се отнася до обикновена шестоъгълна призма, стойността на нейния обем е функция на две променливи: страни a и b.