Пространствената геометрия е изследване на призмите. Важните им характеристики са обемът, съдържащ се в тях, площта на повърхността и броят на съставните елементи. В статията ще разгледаме всички тези свойства за шестоъгълна призма.
За коя призма говорим?
Шестоъгълна призма е фигура, образувана от два многоъгълника с шест страни и шест ъгъла и шест паралелограма, свързващи маркираните шестоъгълници в една геометрична формация.
Фигурата показва пример за тази призма.
Шестоъгълникът, отбелязан в червено, се нарича основа на фигурата. Очевидно броят на неговите основи е равен на две и двете са еднакви. Жълто-зеленикавите лица на призмата се наричат нейни страни. На фигурата те са представени с квадрати, но като цяло са успоредни.
Шестоъгълната призма може да бъде наклонена и права. В първия случай ъглите между основата и страните не са прави, във втория са равни на 90o. Също така, тази призма може да бъде правилна и неправилна. Правилен шестоъгълникпризмата трябва да е права и да има правилен шестоъгълник в основата. Горната призма на фигурата удовлетворява тези изисквания, така че се нарича правилна. По-нататък в статията ще изучаваме само неговите свойства, като общ случай.
Елементи
За всяка призма основните й елементи са ръбове, лица и върхове. Шестоъгълната призма не е изключение. Фигурата по-горе ви позволява да преброите броя на тези елементи. И така, получаваме 8 лица или страни (две основи и шест странични успоредника), броят на върховете е 12 (6 върха за всяка основа), броят на ръбовете на шестоъгълна призма е 18 (шест странични и 12 за основите).
През 1750-те години Леонхард Ойлер (швейцарски математик) установява за всички полиедри, които включват призма, математическа връзка между числата на посочените елементи. Тази връзка изглежда така:
брой ръбове=брой лица + брой върхове - 2.
Горните цифри отговарят на тази формула.
Диагонали на призма
Всички диагонали на шестоъгълна призма могат да бъдат разделени на два вида:
- тези, които лежат в равнините на лицата му;
- тези, които принадлежат на целия обем на фигурата.
Снимката по-долу показва всички тези диагонали.
Вижда се, че D1 е страничният диагонал, D2 и D3 са диагоналите цялата призма, D4 и D5 - диагоналите на основата.
Дължините на диагоналите на страните са равни една на друга. Лесно е да ги изчислим с помощта на добре познатата питагорова теорема. Нека a е дължината на страната на шестоъгълника, b дължината на страничния ръб. Тогава диагоналът има дължина:
D1=√(a2 + b2).
Диагонал D4 също е лесно да се определи. Ако си спомним, че правилен шестоъгълник се вписва в кръг с радиус a, тогава D4 е диаметърът на този кръг, тоест получаваме следната формула:
D4=2a.
Диагонал D5основите са малко по-трудни за намиране. За да направите това, разгледайте равностранен триъгълник ABC (вижте фиг.). За него AB=BC=a, ъгълът ABC е 120o. Ако намалим височината от този ъгъл (тя също ще бъде ъглополовяща и медиана), тогава половината от основата на AC ще бъде равна на:
AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.
AC страната е диагоналът на D5, така че получаваме:
D5=AC=√3a.
Сега остава да се намерят диагоналите D2и D3 на правилна шестоъгълна призма. За да направите това, трябва да видите, че те са хипотенузите на съответните правоъгълни триъгълници. Използвайки питагоровата теорема, получаваме:
D2=√(D42+ b2)=√(4a2+ b2);
D3=√(D52+ b2)=√(3a2+ b2).
По този начин най-големият диагонал за всякакви стойности на a и b еD2.
Площ на повърхността
За да разберете какво е заложено, най-лесният начин е да разгледате развитието на тази призма. Показан е на снимката.
Вижда се, че за да се определи площта на всички страни на разглежданата фигура, е необходимо да се изчисли площта на четириъгълника и площта на шестоъгълника поотделно, след което да се умножат чрез съответните цели числа, равни на броя на всеки n-ъгълник в призмата, и добавете резултатите. Шестоъгълници 2, правоъгълници 6.
За площта на правоъгълник получаваме:
S1=ab.
Тогава площта на страничната повърхност е:
S2=6ab.
За да определите площта на шестоъгълник, най-лесният начин е да използвате съответната формула, която изглежда така:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Замествайки числото n, равно на 6 в този израз, получаваме площта на един шестоъгълник:
S6=6/4a2ctg(pi/6)=3√3/2a 2.
Този израз трябва да се умножи по две, за да се получи площта на основите на призмата:
Sos=3√3a2.
Остава да добавите Sos и S2, за да получите общата повърхност на фигурата:
S=Sos+ S2=3√3a2+ 6ab=3a(√3a + 2b).
Обем на призмата
След формулата заплощ на шестоъгълна основа, изчисляването на обема, съдържащ се във въпросната призма, е толкова лесно, колкото и черупката на круши. За да направите това, просто трябва да умножите площта на една основа (шестоъгълник) по височината на фигурата, чиято дължина е равна на дължината на страничния ръб. Получаваме формулата:
V=S6b=3√3/2a2b.
Забележете, че произведението на основата и височината дава стойността на обема на абсолютно всяка призма, включително наклонената. В последния случай обаче изчисляването на височината е сложно, тъй като тя вече няма да е равна на дължината на страничното ребро. Що се отнася до обикновена шестоъгълна призма, стойността на нейния обем е функция на две променливи: страни a и b.
