За да го кажа просто и накратко, обхватът е стойностите, които всяка функция може да приеме. За да проучите напълно тази тема, трябва постепенно да разглобите следните точки и концепции. Първо, нека разберем дефиницията на функцията и историята на нейния външен вид.
Какво е функция
Всички точни науки ни предоставят много примери, при които въпросните променливи зависят по някакъв начин една от друга. Например, плътността на веществото се определя изцяло от неговата маса и обем. Налягането на идеален газ при постоянен обем варира с температурата. Тези примери са обединени от факта, че всички формули имат зависимости между променливи, които се наричат функционални.
Функцията е концепция, която изразява зависимостта на една величина от друга. Има формата y=f(x), където y е стойността на функцията, която зависи от x - аргумента. По този начин можем да кажем, че y е променлива, зависима от стойността на x. Стойностите, които x може да приеме заедно, садомейнът на дадената функция (D(y) или D(f)), и съответно стойностите на y съставляват набора от стойности на функцията (E(f) или E(y)). Има случаи, когато дадена функция е дадена по някаква формула. В този случай областта на дефиниция се състои от стойността на такива променливи, в които нотацията с формулата има смисъл.
Има съвпадащи или равни характеристики. Това са две функции, които имат равни диапазони от валидни стойности, както и стойностите на самата функция са равни за всички едни и същи аргументи.
Много закони на точните науки са наречени подобно на ситуациите в реалния живот. Има такъв интересен факт и за математическата функция. Има теорема за границата на функция, "залепена" между двама други, които имат същата граница - за двама полицаи. Обясняват го така: тъй като двама полицаи водят затворник в килия между тях, престъпникът е принуден да отиде там и той просто няма избор.
Справка за историческа функция
Концепцията за функция не е станала веднага окончателна и точна, тя е преминала дълъг път на превръщане. Първо, Въведението и изследването на равнините и твърдите места на Ферма, публикувано в края на 17-ти век, гласи следното:
Когато има две неизвестни в крайното уравнение, има място.
По принцип тази работа говори за функционална зависимост и нейния материален образ (място=линия).
Също така, приблизително по същото време, Рене Декарт изучава линиите по техните уравнения в работата си "Геометрия" (1637), където отново фактътзависимост на две величини една от друга.
Самото споменаване на термина "функция" се появява едва в края на 17-ти век при Лайбниц, но не и в съвременната му интерпретация. В своята научна работа той смята, че функцията са различни сегменти, свързани с крива линия.
Но още през 18-ти век функцията започва да се дефинира по-правилно. Бернули написа следното:
Функцията е стойност, съставена от променлива и константа.
Мислите на Ойлер също бяха близки до това:
Променливата функция за количество е аналитичен израз, съставен по някакъв начин от това променливо количество и числа или постоянни количества.
Когато някои количества зависят от други по такъв начин, че когато последните се променят, те самите се променят, тогава първите се наричат функции на вторите.
Функционална графика
Графиката на функцията се състои от всички точки, принадлежащи на осите на координатната равнина, чиито абсциси приемат стойностите на аргумента, а стойностите на функцията в тези точки са ординати.
Обхватът на функцията е пряко свързан с нейната графика, тъй като ако някои абсциси са изключени от диапазона от валидни стойности, тогава трябва да начертаете празни точки на графиката или да начертаете графиката в определени граници. Например, ако се вземе графика от формата y=tgx, тогава стойността x=pi / 2 + pin, n∉R се изключва от зоната на дефиницията, в случай на допирателна графика, трябва да начертаетевертикални линии, успоредни на оста y (те се наричат асимптоти), минаващи през точките ±pi/2.
Всяко задълбочено и внимателно изследване на функциите представлява голям клон на математиката, наречен смятане. В елементарната математика елементарните въпроси за функциите също се засягат, например, изграждане на проста графика и установяване на някои основни свойства на функция.
Каква функция може да бъде настроена на
Функция може:
- бъдете формула, например: y=cos x;
- задава се от която и да е таблица с двойки с формата (x; y);
- веднага има графичен изглед, за това двойките от предишния елемент на формуляра (x; y) трябва да бъдат показани на координатните оси.
Бъдете внимателни, когато решавате някои проблеми от високо ниво, почти всеки израз може да се разглежда като функция по отношение на някакъв аргумент за стойността на функцията y (x). Намирането на областта на дефиниция в такива задачи може да бъде ключът към решението.
За какво е обхватът?
Първото нещо, което трябва да знаете за функция, за да я изучавате или изграждате, е нейният обхват. Графиката трябва да съдържа само онези точки, където функцията може да съществува. Домейнът на дефиниция (x) може също да бъде посочен като домейн на приемливите стойности (съкратено ODZ).
За да изградите правилно и бързо графика от функции, трябва да знаете домейна на тази функция, защото външният вид на графиката и точността зависят от неястроителство. Например, за да конструирате функция y=√x, трябва да знаете, че x може да приема само положителни стойности. Следователно той се изгражда само в първия координатен квадрант.
Обхват на дефиницията на примера на елементарни функции
В своя арсенал математиката има малък брой прости, дефинирани функции. Те имат ограничен обхват. Решението на този проблем няма да предизвика трудности, дори ако имате така наречената сложна функция пред вас. Това е просто комбинация от няколко прости.
- Така че функцията може да бъде дробна, например: f(x)=1/x. По този начин променливата (нашият аргумент) е в знаменателя и всеки знае, че знаменателят на дроб не може да бъде равен на 0, следователно аргументът може да приеме всяка стойност, освен 0. Нотацията ще изглежда така: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ако има някакъв израз с променлива в знаменателя, тогава трябва да решите уравнението за x и да изключите стойностите, които превръщат знаменателя в 0. За схематично представяне са достатъчни 5 добре подбрани точки. Графиката на тази функция ще бъде хипербола с вертикална асимптота, минаваща през точката (0; 0) и, в комбинация, осите Ox и Oy. Ако графичното изображение се пресича с асимптотите, тогава такава грешка ще се счита за най-грубата.
- Но какъв е домейнът на корена? Областта на функция с радикален израз (f(x)=√(2x + 5)), съдържаща променлива, също има свои собствени нюанси (отнася се само за корен от четна степен). Катоаритметичният корен е положителен израз или равен на 0, тогава коренният израз трябва да бъде по-голям или равен на 0, решаваме следното неравенство: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, следователно, домейнът на това функция: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Графиката е един от разклоненията на парабола, завъртян на 90 градуса, разположен в първия координатен квадрант.
- Ако имаме работа с логаритмична функция, тогава трябва да запомните, че има ограничение по отношение на основата на логаритъма и израза под знака на логаритъма, в този случай можете да намерите областта на дефиниция като следва. Имаме функция: y=loga(x + 7), решаваме неравенството: x + 7 > 0, x > -7. Тогава областта на тази функция е D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Обърнете внимание и на тригонометричните функции от формата y=tgx и y=ctgx, тъй като y=tgx=sinx/cos/x и y=ctgx=cosx/sinx, следователно трябва да изключите стойности при което знаменателят може да бъде равен на нула. Ако сте запознати с графиките на тригонометричните функции, разбирането на тяхната област е проста задача.
Как се работи с различни сложни функции
Запомнете няколко основни правила. Ако работим със сложна функция, тогава няма нужда да решаваме нещо, да опростяваме, да добавяме дроби, да намаляваме до най-малкия общ знаменател и да извличаме корени. Трябва да проучим тази функция, защото различни (дори идентични) операции могат да променят обхвата на функцията, което води до неправилен отговор.
Например, имаме сложна функция: y=(x2 - 4)/(x - 2). Не можем да намалим числителя и знаменателя на дроба, тъй като това е възможно само ако x ≠ 2 и това е задачата за намиране на областта на функцията, така че не разлагаме числителя на множители и не решаваме никакви неравенства, тъй като стойност, при която функцията не съществува, видима с просто око. В този случай x не може да приеме стойността 2, тъй като знаменателят не може да отиде до 0, нотацията ще изглежда така: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Реципрочни функции
За начало си струва да се каже, че функцията може да стане обратима само на интервал на увеличаване или намаляване. За да намерите обратната функция, трябва да размените x и y в нотацията и да решите уравнението за x. Домените на дефиниция и домейните на стойност са просто обърнати.
Основното условие за обратимостта е монотонен интервал на функция, ако функцията има интервали на увеличение и намаляване, тогава е възможно да се състави обратната функция на всеки един интервал (нарастващ или намаляващ).
Например, за експоненциалната функция y=ex реципрочната е естествената логаритмична функция y=logea=lna. За тригонометрията това ще бъдат функции с префикс arc-: y=sinx и y=arcsinx и т.н. Графиките ще бъдат поставени симетрично по отношение на някои оси или асимптоти.
Заключения
Търсенето на диапазона от приемливи стойности се свежда до изследване на графиката на функциите (ако има такава),записване и решаване на необходимата специфична система от неравенства.
И така, тази статия ви помогна да разберете за какво е обхватът на дадена функция и как да я намерите. Надяваме се, че ще ви помогне да разберете добре основния училищен курс.
